Problemas de inducción matemática

1
Nivel
Secundaria
Dificultad
5
 

Demuestra que, para , se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
2
Suma de enteros
Nivel
Secundaria
Dificultad
5
 

Utiliza el principio de inducción para demostrar que la suma de los primeros N números enteros es . Es decir,

(1)
Solución disponible
Cat_in_a_box
 
3
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
3
 

Demuestra que, para todo entero positivo n se cumple:

1..

2..

3..

Solución disponible
pod
 
4
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra, para

(1)
Solución disponible
pod
 

Comencemos por desarrollar lo que significa el sumatorio,

(1)

Paso 1. Debemos comprobar que la igualdad se cumple para el primer valor, . En este caso, el sumatorio sólo tiene un sumatorio,

(2)

El lado derecho de la igualdad es

(3)

Paso 2. Hacemos la hipótesis de inducción, es decir, suponemos que la igualdad se cumple para n arbitrario,

(4)

Paso 3. Haciendo uso de (4), debemos demostrar que la igualdad se cumple para n+1,

(5)

Empezaremos, de nuevo, desarrollando el sumatorio,

(6)

vemos que, excepto el último término, el resto del sumatorio es idéntico al de (4), por lo que podemos substituir,

(7)

debemos simplificar el polinomio que aparece en el numerador, . Utilizamos el procedimiento de Ruffini,

(8)

y, por lo tanto,

(9)

y nos queda

(10)

que coincide con (5), por lo tanto si (4) es cierto, también lo es (5). Esto completa la demostración por inducción.

5
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra que, para , se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
6
Demostración por inducción
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demostrad por inducción que:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
7
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra la siguiente desigualdad

(1)
Solución disponible
pod
 
8
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra, por inducción, que todas las potencias naturales de seis, , terminan en seis.

Solución disponible
pod
 
9
Binomio de Newton
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demostrad que se cumple:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
10
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
9
 

Dados demostrar que para todo entero, se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
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