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\begin{document}

\title{Tema 1: Espacios vectoriales}
\author{$\sqrt\pi$}
\date{Curso 2009-2010}
\maketitle

- Consideramos que $E$ es un espacio vectorial (e.v.) en el cuerpo $\mathbb{K}$ de los escalares, definido:\begin{itemize}
	\item $(E,+,\cdot)$ con las siguientes propiedades:
	\begin{itemize}
		\item $(+)$: asociativa, conmutativa, tiene elemento cero $\vec 0$ y elemento inverso $(-u)$.
		\item $(\cdot)$ i. $a(u+v) = au+av$ ii. $(a+b)u = au+bu$ iii. $(ab)u = a(bu)$ iv. $1u = u$ 
\end{itemize}
\end{itemize}
-\textbf{Subespacio vectorial}: $F\subset E$ es subespacio si:\begin{enumerate}
	\item $u,v\in F\;\Rightarrow u+v \in F$.
	\item $u\in F, \lambda\in \mathbb{K} \Rightarrow \lambda u\in F$ 
\end{enumerate}
- \textbf{Combinaciones lineales}: Decimos que $u$ es combinación lineal de $v_1,\ldots,v_n$ si $\exists \; a^1,\ldots, a^n$ tal que\newline $u=\displaystyle \sum_{i=1}^n a^iv_i $. Además, toda combinación lineal de vectores de $F$ es un vector de $F$ 

-$\left\langle{S}\right\rangle$ es el conjunto de las combinaciones lineales de $S$ y, además, es el más pequeño de los subespacios vectoriales que contienen a $S$, de manera que si $\left\langle{S}\right\rangle=F$ diremos que $F$ está generado por $S$ y que $S$ es un sistema de generadores.

-\textbf{Base $B$ de un e.v.}: $B\subset E \Leftrightarrow$:\begin{enumerate}
	\item $\forall u\in E$ es linealmente independiente:$u=\displaystyle \sum_{i=1}^n a^iv_i \Rightarrow a^i = 0;\;\; i =1,\ldots,n $ 
	\item $\left\langle{B}\right\rangle$ es un sistema de generadores
\end{enumerate}
- Todo $E\neq\{\vec 0\}$ generado por un nombre finito de vectores tiene una base finita $\Rightarrow$ Todo sistema de generadores contiene una base $\Rightarrow$ Toda base es un sistema de generadores.

-\textbf{Teorema de Steinitz}: Sean $u_1,\ldots,u_n$ una base de $E$ y $v_1,\ldots,v_m$ vectores independientes cualesquiera, podemos sustituir $m$ vectores de la base por $v_1,\ldots,v_m$ obteniendo una nueva base.

- Si $E$ tiene una base finita, entonces, todas las bases tienen el mismo número de vectores. Dicho número coincide con la dimensión de $E$, es además el número máximo de vectores linealmente independientes y el número mínimo de generadores.

- Sea $F\subset E$, se tiene que $\dim F\meq \dim E$ y $\dim F = \dim E \Leftrightarrow F=E$.

- $F\cap G$ es un subespacio vectorial de $E$. La unión de $F$ y $G$, podemos definirla como: $F\cup G\approx F+G=\{u+v\;|\; u\in F,\; v\in G\}$ y es el más pequeño de los subespacios que contienen $F$ y $G$.

- \textbf{Fórmula de Grassman}: Sean $F\subset E$ y $G\subset E$, entonces  $\dim F + \dim G = \dim(F+G)+\dim(F\cap G) $.

- Si $(F\cap G)=\{{\vec 0}\}\Rightarrow \dim F+G = F\oplus G$, es decir, es suma directa si la expresión de un vector como suma de uno de $F$ y uno de $G$ es única. Además, si $\dim E$ es finita, se tiene que: $E = F\oplus G$.

-\textbf{Coordenadas}: Sea $\displaystyle v=\sum_{i=0}^n a^iu_i \;\; \Longrightarrow\;\; a^i$ son las coordenadas de $v$ en la base $u_i$ 

\textbf{CAMBIO DE BASE}
Un mismo vector $v$ podemos expresarlo de maneras diferentes si variamos la base; por ejemplo:
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle v=\sum_{i=0}^n a^iu_i$, donde $a^i$ son las coordenadas de $v$ en la primera base, $u_i$.
	\item $\displaystyle v=\sum_{j=0}^n b^je_j$, donde $b^j$ son las coordenadas de $v$ en la segunda base, $e_j$.
Tenemos que $i = j = 1,\ldots,n$. Entonces, estableceremos una relación entre $a^i$ y $b^j$:
\begin{enumerate}
	\item Los vectores que forman la segunda base, podemos expresarlos de la siguente manera:
\begin{align}
e_1&=p_1^1u_1+\ldots p_1^n = \sum_{i = 1}^n p_1^iu_i\nonumber\\
\vdots&\nonumber\\
e_n& = p_1^n +\ldots p_n^n u_n = \sum_{i = 1}^n p_n^iu_i\nonumber	
\end{align}
Con lo cual, generalizando, tenemos que $\displaystyle e_j = \sum_{i=1}^np_j^iu_i\;\;\;\; j = 1,\ldots n$.

	\item Entonces, podemos expresar un vector $v$ de la siguiente manera:
	
\begin{align}
	v& = \sum_{j=1}^n b^je_j = \sum_{i=1}^nb^j\left({\sum_{i=1}^n p_j^iu_i}\right)=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\left({b^jp_j^iu_i}\right)\nonumber\\
	 & = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left({b^jp_j^iu_i}\right) = \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n{b^jp_j^i}\right)u_i = \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n{p_j^ib^j}\right)u_i= \sum_{i=1}^n a^iu_i\nonumber.
\end{align}	 
Con lo cual:
\begin{center}
 \fbox{$\displaystyle a^i = \sum_{j=1}^n p_j^ib^j$}
\end{center}
 
Donde: 
$a^i \equiv A =\left(\begin{array}{c}a^1\\ \vdots \\ a^n \end{array}\right)$ y $b^j\equiv B =\left(\begin{array}{c}b^1\\ \vdots \\ b^n \end{array}\right)$

Las $a^i$ son las coordenadas del vector en la primera base  $u_1,\ldots,u_n$ y las $b^j$ son las coordenadas del vector en la segunda base  $e_1,\ldots,e_n$. Y finalmente: 
$$p^i_j \equiv P =\left(\begin{array}{ccc}p^1_1 &\ldots & p^1_n\\ \vdots & & \vdots \\ p^n_1&\ldots&p^n_n \end{array}\right)$$

que es la matriz del cambio de base de la primera base $u_i$ a la segunda base $e_i$. Cada columna, representan las coordenades de la segunda base en la primera, es decir las coordenadas de $e_1,\ldots,e_n$ en la base $u_1$.

Tenemos que: $A = P\cdot B$ $\Rightarrow B = Q\cdot A$, donde $Q = P^{-1}$, con lo cual $Q\cdot P = I$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}