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\begin{document}

\section*{tema 1. Estructura Cristalina.}

{\raggedright Posicion de un punto de la red: \( \vec{r}=n_{1}\vec{a}_{1}+n_{2}\vec{a}_{2}+n_{3}\vec{a}_{3} \)
\( \bullet  \) Volumen de la celda unidad: \( V=\left| \vec{a}\cdot \vec{b}\times \vec{c}\right|  \)
\( \bullet  \) Distancia entre planos (SC, BCC, FCC): \( d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}} \)
\( \bullet  \) Red Ortorrómbica: \( d_{hkl}=\frac{1}{\sqrt{\frac{h^{2}}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{b^{2}}+\frac{l^{2}}{c^{2}}}} \)
\( \bullet  \) \textbf{Estructuras cristalinas simples.} i) NaCl
(FCC). Cl: \( 000,\frac{1}{2}\frac{1}{2}0,\frac{1}{2}0\frac{1}{2},0\frac{1}{2}\frac{1}{2} \)
\( \bullet  \) Na: \( \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2},00\frac{1}{2},0\frac{1}{2}0,\frac{1}{2}00 \)
\( \bullet  \) ii) CsCl (SC) Cs: \( 000 \) \( \bullet  \) Cl: \( \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2} \)
\( \bullet  \) iii) hcp: Factor de empaquetamiento: \( c/a=(8/3)^{1/2} \)\( \bullet  \)
iv) Estructura diamante (FCC). \( 000,\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2} \)
\( \bullet  \) v) ZnS (2FCC). Zn: \( 000,0\frac{1}{2}\frac{1}{2},\frac{1}{2}0\frac{1}{2},\frac{1}{2}\frac{1}{2}0 \)
\( \bullet  \) S: \( \frac{1}{4}\frac{1}{4}\frac{1}{4},\frac{1}{4}\frac{3}{4}\frac{3}{4},\frac{3}{4}\frac{1}{4}\frac{3}{4},\frac{3}{4}\frac{3}{4}\frac{1}{4} \)
\( \bullet  \) Volúmenes celdas primitivas: i) SC: \( V=a^{3} \)
ii) BCC: \( V=a^{3}/2 \) iii) FCC: \( V=a^{3}/4 \) \( \bullet  \)
Coefiiente de dilatación lineal: \( L'=L_{0}(1+\alpha \Delta T) \)\par}


\section*{tema 2. Difracción.}

{\raggedright Ley de Bragg: \( 2d\sin \theta =n\lambda  \), intensidad
máxima \( n=1 \) \( \bullet  \) Red Real \( \rightarrow  \) \( a \),
Red Recíproca \( \rightarrow  \) \( 2\pi /a \) \( \bullet  \) Número
de electrones en la red \par}

{\raggedright periódica: \( n(\vec{r})=\sum _{G}n_{G}\exp (-i\vec{G}\cdot \vec{r}) \)
con \( n_{G}=\frac{1}{V_{c}}\int _{c}dVn(\vec{r})\exp (-i\vec{G}\cdot \vec{r}) \)
\( \bullet  \) Vector de la red recíproca: \( G=h\vec{b}_{1}+k\vec{b}_{2}+l\vec{b}_{3} \)
con \( \vec{b}_{1}=2\pi \frac{\vec{a}_{2}\times \vec{a}_{3}}{\vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2}\times \vec{a}_{3}} \),
\( \vec{b}_{2}=2\pi \frac{\vec{a}_{3}\times \vec{a}_{1}}{\vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2}\times \vec{a}_{3}} \),
\( \vec{b}_{3}=2\pi \frac{\vec{a}_{1}\times \vec{a}_{2}}{\vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2}\times \vec{a}_{3}} \)
\( \bullet  \) \( \vec{b}_{i}\cdot \vec{a}_{j}=2\pi \delta _{ij} \)
\( \bullet  \) Amplitud de \emph{Scattering}: \( F=\sum _{G}\int dVn_{g}e^{i(\vec{G}-\Delta \vec{k})\vec{r}} \)
\( \bullet  \) Condición de difracción: \( \Delta \vec{k}=\vec{G} \),
si elástica \( \Rightarrow  \) \( 2\vec{k}\vec{G}=G^{2} \) \( \bullet  \)
\( d_{hkl}=2\pi /\left| \vec{G}\right|  \). Si \( \Delta \vec{k}=\vec{G} \)
\( \Rightarrow  \) \( F_{G}=N\int _{c}dVn(\vec{r})e^{-i\vec{G}\cdot \vec{r}}=NS_{G} \),
con \( S_{G}\equiv  \) Factor de Esctructura \( \bullet  \) \( n(\vec{r})=\sum ^{s}_{j=1}n_{j}(\vec{r}-\vec{r}_{j})=\sum ^{s}_{j=1}n_{j}(\vec{\rho }) \)
\( \Rightarrow  \) \( S_{G}=\sum _{j}\int dVn_{j}(\vec{r}-\vec{r}_{j})\exp (-i\vec{G}\cdot \vec{r}) \)\( =\sum _{j}\exp (-i\vec{G}\cdot \vec{r}_{j})\int dvn_{j}(\vec{\rho })\exp (-i\vec{G}\cdot \vec{\rho }) \)
\( \bullet  \) Factor atómico de forma: \( f_{j}=\int dVn_{j}(\vec{\rho })\exp (-i\vec{G}\cdot \vec{\rho }) \)
\( \Rightarrow  \) \( S_{G}=\sum _{j}f_{j}\exp (-i\vec{G}\cdot \vec{r}) \)
y también \( S_{G}=\sum _{j}f_{j}\exp \{-i(hn_{1}+kn_{2}+ln_{3}) \)
\( \bullet  \) Anillos de difracción: \( d_{hkl}=\lambda /2 \) \( \Rightarrow  \)
\( \sin \theta _{max}=\pi /2 \), aparecen anillos para \( d_{hkl}\geq \lambda /2 \)
\( \bullet  \) Factor atómico de forma, distribución esférica de
carga: \( f_{j}=4\pi \int _{0}^{\infty }drr^{2}n_{j}(r)\frac{\sin Gr}{Gr} \)
\( \bullet \int _{0}^{\infty }dxx^{n}e^{-ax}=\frac{\Gamma (n+1)}{a^{n+1}} \)
\( \bullet  \) \( \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n! \) \( \bullet  \)
BCC: \( S_{G,BCC}=f_{BCC}\left( 1+(-1)^{h+k+l}\right)  \) \( \bullet  \)
FCC: \( S_{G,FCC}=f_{FCC}\left( 1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+l}+(-1)^{h+l}\right)  \)
\( \bullet  \) Intensidad de difracción: \( I=S_{G}\cdot S_{G}^{*} \)\par}


\section*{tema 3. Enlace Cristalino.}

{\raggedright \textbf{\( U_{T}=U_{atrac}+U_{repuls} \) \( \bullet  \)
Potenciales repulsivos:} i) Potencial de Lenard-Jones: \( U_{R}=B/R^{12} \)
\( \bullet  \) ii) Potencial de Born-Mayer: \( U^{'}_{R}=\lambda \exp (-R/\rho ) \)
\( \bullet  \) \textbf{Cristales inertes (}\textbf{\emph{Van der
Waals}}\textbf{):} Potencial de interacción de una pareja de átomos:
\( U_{ij}=B/R_{ij}^{12}-A/R_{ij}^{6}=4\epsilon \left[ \left( \sigma /R_{ij}\right) ^{12}-\left( \sigma /R_{ij}\right) ^{6}\right]  \),
con \( \sigma =(B/A)^{1/6}\equiv  \) parámetro de distancia; \( \epsilon =A^{2}/4B\equiv  \)
parámetro de energía \( \bullet  \) Energía total: \( U_{T}=2N\epsilon \left[ \sum _{j\neq i}\left( \sigma /R_{ij}\right) ^{12}-\sum _{j\neq i}\left( \sigma /R_{ij}\right) ^{6}\right]  \)
\( \rightarrow  \) \( R_{ij}=\rho _{ij}R \). \( R\equiv  \) distancia
entre vecinos más próximos \( \bullet  \) \( U_{T}(R)=2N\epsilon \left[ A_{12}(\sigma /R)^{12}-A_{6}(\sigma /R)^{6}\right] \equiv  \)
Energía total de interacción o Energía de Cohesión. \( \bullet  \)
FCC: \( A_{12}=12.13188 \), \( A_{6}=14.45392 \). HCP: \( A_{12}=12.13229 \),
\( A_{6}=14.4589 \) \( \bullet  \) Parámetro de red: \( \left. \frac{dU_{T}(R)}{dR}\right\rfloor _{R=R_{0}}=0\Rightarrow R_{0}=2\left( \frac{A_{12}}{A_{6}}\right) ^{1/6}\sigma  \)
\( \bullet  \) \textbf{Cristales iónicos:} Interacción electrostática:
\( U_{elec}=\sum _{j\neq i}\frac{\pm Q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}R_{ij}} \)
(SI), \( U_{elec}=\sum _{j\neq i}\frac{\pm Q^{2}}{R_{ij}} \) (CGS)
\( \bullet  \) Energía total: \( U_{Total}(R)=N\left[ -\frac{Q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}R}\sum _{j\neq i}\frac{\pm 1}{P_{ij}}+z\lambda e^{-R/\rho }\right]  \)
con \( \alpha =\sum _{i\neq j}\frac{\pm 1}{P_{ij}}\equiv  \) Constante
de Madelung, tb \( \frac{\alpha }{R}=\sum _{j}\frac{1}{r_{ij}} \)
\( \Rightarrow  \) \( U_{TOT}(R)=-\frac{NQ^{2}\alpha }{4\pi \epsilon _{0}R}+zN\lambda e^{-R/\rho } \)
\( \bullet  \) Energía de Cohesión: \( U(R_{0})=-\frac{NQ^{2}\alpha }{4\pi \epsilon _{0}R_{0}}\left[ 1-\rho /R_{0}\right]  \)
\( \bullet  \) \( Na+PI\rightarrow Na^{+}+e^{-} \) \( \bullet  \)
\( e^{-}+Cl\rightarrow Cl^{-}+AE \) \( \bullet  \) \( Na+Cl\rightarrow NaCl+E_{cohesi\acute{o}n} \)
\( \bullet  \) Cristal iónico lineal: \( U_{Tot}=N\left[ \frac{A}{R^{N}}-\frac{\alpha q^{2}}{R}\right]  \)
\textbf{\( \bullet  \) Cristales covalentes:} Singlete-Enlazante.
Triplete-Antienlazante. \( \bullet  \) \textbf{Cristales Metálicos.}\par}


\section*{Tema 4. Fonones. Vibraciones de la red. }

{\raggedright Ecuación de movimiento: \( m\frac{d^{2}u_{n}}{dt^{2}}=\sum _{p}C_{p}(u_{n+p}-u_{n}) \),
soluciones: Modos normales: \textbf{}\( u_{n}(x,t)=u_{0}e^{i(kx-\omega t)} \)
\( \bullet  \) Relación de dispersión: \( \omega ^{2}=\sum _{p}2C_{p}\frac{1}{m}\left[ 1-\cos kpa\right]  \)
\( \bullet  \) Interacción a primeros vecinos, \( p=1 \) \( \bullet  \)
\( x=sa \) con \( s=0,1,... \) \( \bullet  \) \( u_{n+1}=u_{n}(x+a) \)
\( \bullet  \) \( m\frac{d^{2}u_{s}}{dt^{2}}=C(u_{s+1}+u_{s-1}-2u_{s}) \)
\( \Rightarrow  \) \( \omega =\sqrt{\frac{4C_{1}}{m}}\left| \sin \frac{ka}{2}\right|  \)
\( \bullet  \) \( \omega _{max}=\omega (k=\pm \pi /a)=\sqrt{4C_{1}/m} \)
\( \bullet  \) 1\ensuremath{ª} Zona de Brillouin: \( -\pi \leq ka\leq \pi  \)
\( \bullet  \) Condición de Bragg: \( k_{max}=\pm k/a \) \( \bullet  \)
Velocidad de grupo: \( v_{g}=\frac{d\omega }{dk} \) (1D), \( v_{g}=\nabla _{\vec{k}}\omega (\vec{k}) \)
(3D). \( v_{g}=\sqrt{\frac{C_{1}a^{2}}{m}}\left| \cos \frac{ka}{2}\right|  \)
\( \bullet  \) Aproximación de onda larga: \( ka\ll 1\Rightarrow \sin \frac{ka}{2}\simeq \frac{ka}{2} \).
Así pues, \( \omega ^{2}=\frac{C_{1}}{m}k^{2}a^{2} \) \( \bullet  \)
\textbf{Dos átomos por celda primitiva:} Ecuaciones de movimiento:
\( m_{1}\frac{d^{2}u_{s}}{dt^{2}}=C(v_{s}+v_{s-1}-2u_{s}) \), \( m_{2}\frac{d^{2}v_{s}}{dt^{2}}=C(u_{s+1}+u_{s}-2v_{s}) \).
Soluciones (modos normales): \( u_{s}=u_{0}e^{iska}e^{-i\omega t} \),
\( v_{s}=v_{0}e^{iska}e^{-i\omega t} \) \( \bullet  \) Relación
de dispersión: \( \omega _{\pm }^{2}=C\left( \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}\right) \pm C\sqrt{\left( \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}\right) ^{2}-\frac{4}{m_{1}m_{2}}\sin ^{2}\frac{ka}{2}} \).
\( \omega _{+}\rightarrow  \) Rama óptica, \( \omega _{-}\rightarrow  \)
Rama acústica. \( \bullet  \) Aproximación de onda larga \( (ka\ll 1) \):
\( \omega _{+}^{2}\simeq 2C\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}} \). \( \omega _{-}^{2}\simeq \frac{C}{2(m_{1}+m_{2})}k^{2}a^{2} \)
\( \bullet  \) \( k_{max}=\pm \frac{\pi }{a} \) \( \Rightarrow  \)
\( \omega _{+}^{2}=2C/m_{1} \). \( \omega _{-}^{2}=2C/m_{2} \) \( \bullet  \)
\textbf{Fonones:} \( E=(n+1/2)\hbar \omega  \) \( \bullet  \) \( \vec{p}=\hbar \vec{k} \)
\( \bullet  \) Scattering de un fonón: \( \vec{k}'=\vec{k}+\vec{k}_{fon\acute{o}n}+\vec{G} \)
\( \bullet  \) Energía total de los fonones: \( U=\sum _{k}\sum _{p}\left\langle n_{k,p}\right\rangle \hbar \omega _{k,p} \)
\( \bullet  \) Número medio de fonones: \( \left\langle n\right\rangle =\frac{1}{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1} \)
\( \bullet  \) \( U=\sum _{p}\int d\omega D_{p}(\omega )\frac{\hbar \omega }{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1} \)
\( \bullet  \) \( C_{V}=\frac{\partial U}{\partial T} \) \( \bullet  \)
\textbf{Densidad de estados:} (1D) Un estado permitido por cada intervalo
\( \left( \frac{2\pi }{L}\right)  \) \( \bullet  \) \( D(\omega )=\frac{L}{\pi }\frac{dk}{d\omega }=\frac{dN}{d\omega } \)
\( \bullet  \) (2D) 1 estado por área \( \left( \frac{2\pi }{L_{x}}\right) \left( \frac{2\pi }{Ly}\right)  \)
\( \bullet  \) \( D(\omega )=\frac{L^{2}}{2\pi }k\frac{dk}{d\omega } \)
\( \bullet  \) (3D) 1 estado por volumen \( \left( \frac{2\pi }{L_{x}}\right) \left( \frac{2\pi }{L_{y}}\right) \left( \frac{2\pi }{L_{z}}\right)  \)
\( \bullet  \) \( D(\omega )=\frac{V}{2\pi ^{2}}k^{2}\frac{dk}{d\omega } \)
\( \bullet  \) \textbf{Modelo de Debye:} Dispersion lineal \( \omega =vk \)
\( \Rightarrow  \) \( D(\omega )=\frac{V\omega ^{2}}{2\pi ^{2}v^{3}} \)
\( \bullet  \) \( N=\int _{0}^{\omega _{D}}D(\omega )d\omega  \)
\( \Rightarrow  \) Freciencia de Debye (frecuencia máx.): \( \omega _{D}^{3}=\frac{6\pi ^{2}v^{3}}{V}N \)
\( \bullet  \) \( k_{D}=\omega _{D}/v \) \( \bullet  \) Energía
térmica (1 polarización): \( U_{p}=\int d\omega D(\omega )f(\omega )E_{\omega } \)
\( \bullet  \) \( U=U_{p}\times 3 \) \( \Rightarrow  \) \( U=9Nk_{B}T\left( \frac{T}{\theta _{D}}\right) ^{3}\int _{0}^{x_{D}}dx\frac{x^{3}}{e^{x}-1} \)
con \( x=\beta \hbar \omega  \), \( \theta _{D}=x_{D}T=\frac{\hbar }{k_{B}}v\left( \frac{6\pi ^{2}}{V}\right)  \)
\( \bullet  \) \( C_{V}=9Nk_{B}\left( \frac{T}{\theta _{D}}\right) ^{3}\int _{0}^{x_{D}}dx\frac{x^{4}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}} \)
\( \bullet  \) \textbf{Ley \( T^{3} \) de Debye:} i) Altas temperaturas:
\( k_{B}T\gg \hbar \omega \Rightarrow x\ll 1 \) \( \bullet  \) \( U=3Nk_{B}T \),
\( C_{V}=3Nk_{B} \) \( \bullet  \) ii) Bajas temperaturas: \( k_{B}T\ll \hbar \omega \Rightarrow x\gg 1 \)
\( \bullet  \) \( U=9Nk_{B}T^{4}\frac{\pi ^{4}}{15\theta _{D}^{3}} \)
\( \bullet  \) \( C_{V}=\frac{12\pi ^{4}}{5}\frac{Nk_{B}}{\theta _{D}^{3}}T^{3} \)
\( \bullet  \) \textbf{Modelo de Einstein:} \( U=3N\frac{\hbar \omega }{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1} \)
\( \bullet  \) \( C_{V}=\frac{3Nk_{B}(\hbar \omega /k_{B}T)^{2}}{(e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1)^{2}}e^{\hbar \omega /k_{B}T} \)
\( \bullet  \) i) Altas temperaturas: \( C_{V}\simeq 3Nk_{B} \)
\( \bullet  \) ii) Bajas temp.: \( C_{V}\simeq 3Nk_{B}\left( \frac{\hbar \omega }{k_{B}T}\right) ^{3}e^{-\frac{\hbar \omega }{k_{B}T}} \)
\( \bullet  \) \( \theta _{E}=\frac{\hbar \omega _{E}}{k_{B}} \)
\( \bullet  \) \textbf{Expansión térmica:} \( \left\langle x\right\rangle =\frac{3g}{4c^{2}}k_{B}T \),
con \( U(x)=cx^{2}-gx^{3}-fx^{4} \) \( \bullet  \) \textbf{Conductividad
térmica:} \( K=\frac{1}{3}Cvl \) con \( C=C_{V}/V \), \( v= \)
velocidad media, y \( l= \) recorrido libre medio.\par}


\section*{Tema 5. Gas de electrones libres de Fermi.}

{\raggedright \textbf{Niveles de energía (1D):} \( \psi _{n}=A\sin \frac{2\pi n}{L} \)
\( \bullet  \) \( \epsilon _{n}=\frac{\hbar ^{2}}{2m}\left( \frac{n\pi }{L}\right) ^{2} \)
\( \bullet  \) Energía de Fermi: \( \epsilon _{F}=\frac{\hbar ^{2}}{2m}\left( \frac{N\pi }{2L}\right) ^{2} \),
con \( 2n_{F}=N \) \( \bullet  \) \textbf{Distribución de Fermi-Dirac:
\( f(E)=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1} \).} A \textbf{\( T=0K\Rightarrow \mu =\epsilon _{F} \)
\( \bullet  \) Gas de Electrones libres (3D):} \( \psi _{k}(\vec{r})=e^{i\vec{k}\vec{r}} \),
con \( k_{x}=0,\pm 2\pi /L,\pm 4\pi /L... \) \( \bullet  \) \( \epsilon _{k}=\frac{\hbar ^{2}k^{2}}{2m} \)
\( \bullet  \) \( \vec{p}=\hbar \vec{k} \) \( \bullet  \) \( k_{F}=\left( \frac{3\pi ^{2}N}{V}\right) ^{1/3} \)
\( \bullet  \) Energía de Fermi: \( \epsilon _{F}=\frac{\hbar ^{2}}{2m}k_{F} \)
\( \bullet  \)Velocidad de Fermi: \( v_{F}=\frac{\hbar }{m}\left( \frac{3\pi ^{2}N}{V}\right) ^{1/3} \)
\( \bullet  \) Densidad de estados: \( N(\epsilon )=\frac{V}{3\pi 2}\left( \frac{2m\epsilon }{\hbar ^{2}}\right) ^{3/2} \)
\( \bullet  \) \( D(\epsilon )=\frac{dN}{d\epsilon }=\frac{V}{2\pi ^{2}}\left( \frac{2m}{\hbar ^{2}}\right) ^{3/2}\epsilon ^{1/2}=\frac{3N}{2\epsilon } \)
\( \bullet  \) Capacidad calorífica de un gas de electrones: \( C_{e^{-}}=\frac{d}{dT}\left\langle U\right\rangle =\frac{d}{dT}\int _{0}^{\infty }d\epsilon \epsilon D(\epsilon )f(\epsilon ) \)
\( \Rightarrow  \) \( C_{e^{-}}\simeq \frac{1}{3}\pi ^{2}\frac{3N}{2\epsilon _{F}}k_{B}^{2}T \)
\( \Rightarrow  \) Capacidad calorífica experimental: \( C=\gamma T \)(\( e^{-} \)
libres)\( +\alpha T^{3} \) (Debye) \( \bullet  \) \textbf{Ley de
Ohm:} \( \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=\hbar \frac{dk}{dt}=-e(\vec{E}+\vec{v}\wedge \vec{B}) \)
\( \bullet  \) Desplazamiento de la esfera de Fermi: \( \delta \vec{k}=\frac{-e\vec{E}}{\hbar }t \)
\( \bullet  \) Densidad de corriente: \( \vec{j}=nq\vec{v}=\sigma \vec{E} \)
\( \bullet  \) Conductividad eléctrica: \( \sigma =\frac{ne^{2}\tau }{m} \),
con \( \tau \equiv  \) tiempo medio entre choques. \( \bullet  \)
Resistividad eléctrica: \( \rho =1/\sigma  \) \( \bullet  \) Recorrido
libre medio: \( l=v_{F}\tau  \) \( \bullet  \) Resisitividad experimental:
\( \rho =\rho _{fon\acute{o}n}+\rho _{defectos} \) \( \bullet  \)
\textbf{Movimiento en un CEM:} Ecuación de movimiento: \( \hbar \left( \frac{d}{dt}+\frac{1}{\tau }\right) \delta \vec{k}=\vec{F} \)
tb: \( m\left( \frac{d}{dt}+\frac{1}{\tau }\right) \vec{v}=-e(\vec{E}+\vec{v}\wedge \vec{B}) \).
Soluciones: \( v_{x}=-\frac{e\tau }{m}E_{x}-\omega _{c}\tau v_{y} \),
\( v_{y}=-\frac{e\tau }{m}E_{y}-\omega _{c}\tau v_{x} \), \( v_{z}=\frac{-e\tau }{m}E_{z} \)
\( \bullet  \) Frecuencia de ciclotrón: \( \omega _{c}=\frac{eB}{mc} \)
\( \bullet  \) \textbf{Efecto Hall:} Campo Hall: \( E_{y}=-\omega _{c}\tau E_{x}=-\frac{eB\tau }{m}E_{x} \)
\( \bullet  \) Coeficiente Hall: \( R_{H}=\frac{E_{y}}{j_{x}B}=-\frac{1}{ne} \)
\( \bullet  \) Resistencia Hall: \( \rho _{H}=-\frac{B}{ne}=\frac{E_{y}}{j_{x}} \)
\( \bullet  \) \textbf{Conductividad térmica en metales: \( K=\frac{\pi ^{2}nk_{B}T\tau }{3m} \)\( \bullet  \)}
Número de Lorenz: \( \frac{k}{\sigma }=\frac{\pi ^{2}}{3}\left( \frac{k_{B}}{e}\right) ^{2}T \),
\( L=\frac{k}{\sigma T}=2.44\times 10^{-8}\frac{J^{2}}{K^{2}\cdot C^{2}} \)\par}


\section*{Tema 6. Bandas de energía. }

{\raggedright \textbf{Potencial periódico. Modelo de \( e^{-} \)
cuasilibres.} Gap en \( k=\pm \pi /a=\pm \frac{1G}{2} \) \( \bullet  \)
Ondas en 1\ensuremath{ª} zona de Brillouin: \( \psi _{+}=2\cos \frac{\pi x}{a} \),
\( \psi _{-}=2i\sin \frac{\pi x}{a} \) \( \bullet  \) Magnitud del
gap de Energía: \( U(x)=U\cos \frac{2\pi x}{a} \) \( \bullet  \)
\( E_{g}=\int _{0}^{1}dxU(x)\left\{ \left| \psi _{+}\right| ^{2}-\left| \psi _{-}\right| ^{2}\right\} =U \)
\( \bullet  \) \textbf{Funciones de Bloch.} \( \psi _{\vec{k}}(\vec{r})=u_{\vec{k}}(\vec{r})e^{i\vec{k}\vec{r}} \)
con \( u_{\vec{k}}(\vec{r})=u_{\vec{k}}(\vec{r}+\vec{T}) \) \( \bullet  \)
\textbf{Modelo de Kronig-Penney.} Potencial periódico (PP): función
escalón. Condiciones de contorno periódicas. Aprox: funciones \( \delta  \)
\( \bullet  \) \textbf{Ecuación de ondas del \( e^{-} \) en un PP.}
Ec. de Schrödinger: \( \left[ \frac{p^{2}}{2m}+U(x)\right] \psi (x)=\epsilon \psi (x) \)
\( \bullet  \) \( U(x)=\sum _{G}U_{G}e^{iGx} \) \( \bullet  \)
\( \psi (x)=\sum _{k}C(k)e^{ikx} \) con \( k=\frac{2\pi n}{L} \),
\( L \) longitud del cristal. \( \bullet  \) Ecuación de ondas (Fourier)
(Ecuación central): \( (\lambda _{k}-\epsilon )C(k)+\sum _{G}U_{G}C(k-G)=0 \)
con \( \lambda _{k}=\hbar ^{2}k^{2}/2m \) \( \bullet  \) \( \psi _{k}(x)=\sum _{G}C(k-G)e^{i(k-g)x} \)
\( \bullet  \) \( u_{k}(x)\equiv \sum _{G}C(k-G)e^{-iGx} \) Invariante
bajo traslaciones de cristal \( T \) \( \bullet  \) \( \vec{k}\equiv  \)
Momento cristalino del \( e^{-} \): \( \vec{k}+\vec{q}=\vec{k}'+\vec{G} \)
\( \bullet  \) Energía del \( e^{-} \) libre: \( \epsilon (k_{x},k_{y},k_{z})=(\hbar ^{2}/2m)(\vec{k}+\vec{G})^{2} \)
\( \bullet  \) Solución aprox. en la frontera: \( k=\pm \frac{1}{2}G \)
\( \Rightarrow  \) \( \epsilon =\lambda \pm U=\frac{\hbar ^{2}}{2m}(\frac{1}{2}G)^{2}\pm U \)
\( \Rightarrow  \) \( \epsilon =\frac{1}{2}(\lambda _{k-G}+\lambda _{k})\pm \left[ \frac{1}{4}(\lambda _{k-G}-\lambda _{k})^{2}+U^{2}\right] ^{1/2} \)
\( \bullet  \) \textbf{N\ensuremath{º} de orbitales en una banda.
\( 2N \)} con \( N= \) n\ensuremath{º} de celdas primitivas de parámetro
\( a \).\par}


\section*{Tema 7. Cristales semiconductores.}

\raggedright \textbf{Gap.} Transiciones directas: \( E_{g}=\hbar \omega _{g} \)
\( \bullet  \) Transiciones indirectas: \( E_{g}=\hbar \omega -\hbar \Omega  \)
\( \bullet  \) \textbf{Ecuaciones de movimiento.} Velodidad de grupo:
\( v_{g}=\frac{d\omega }{dk}=\frac{1}{\hbar }\frac{d\epsilon }{dk} \)
\( \bullet  \) \( \vec{v}=\frac{1}{\hbar }\nabla _{\vec{k}}\epsilon (\vec{k}) \)
\( \bullet  \) Fuerza externa aplicada sobre el \( e^{-} \): \( \vec{F}=\hbar \frac{d\vec{k}}{dt} \)
\( \bullet  \) Campo magnético: \( \hbar \frac{d\vec{k}}{dt}=-e\vec{v}\times \vec{B} \)
\( \bullet  \) huecos: \( \vec{k}_{h}=-\vec{K}_{e} \) \( \bullet  \)
\( \epsilon _{h}(\vec{k}_{h})=-\epsilon _{e}(\vec{k}_{e}) \) \( \bullet  \)
\( \vec{v}_{h}=\vec{v}_{e} \) \( \bullet  \) \( m_{h}=-m_{e} \)
\( \bullet  \) \( \hbar \frac{d\vec{k}_{h}}{dt}=e(\vec{E}+\vec{v}_{h}\times \vec{B}) \)
\( \bullet  \) Masa efectiva: \( \frac{1}{m^{*}}=\frac{1}{\hbar ^{2}}\frac{d^{2}\vec{\epsilon }}{dk^{2}} \)
\( \bullet  \) \( \left( \frac{1}{m^{*}}\right) _{\mu \nu }=\frac{1}{\hbar ^{2}}\frac{d^{2}\vec{\epsilon }_{k}}{dk_{\mu }dk_{\nu }} \)
\( \bullet  \) Frecuencia de ciclotrón: \( \omega _{c}=\frac{eB}{m^{*}} \)
\end{document}
