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Momento magnético de disco y esfera
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
8
 
Categoría
Campo magnético estático

1.Un disco no conductor de pequeño grosor de masa , uniformenente distribuida en toda la superficie del mismo, y radio posee una densidad superficial de carga uniforme y gira con velocidad angular alrededor de su eje. Determine el momento (dipolar) magnético del disco en rotación.

2.Una esfera sólida de radio posee una densidad de carga uniforme y una carga total . La esfera gira alrededor de su diámetro con velocidad angular , y posee una masa total uniformenente distribuida en toda ella. Con la ayuda del resultado del apartado anterior, calcule el momento (dipolar) magnético de la esfera giratoria.

3.Para la esfera sólida, demuestre que los vectores de momento magnético y momento angular están relacionados por , resultado de validez general para cuerpos con densidades de carga y masa ambas uniformes, con el denominado factor giromagnético.

Solución disponible
Metaleer
 
Apartado 1.

En módulo, se tiene que

(1)

La carga diferencial de cada espira infinitesimal de radio del disco giratorio será

(2)

y de esta manera

(3)

además

(4)

con lo que

(5)
(6)
Apartado 2.

Podemos considerar que la esfera sólida giratoria está dividida en discos giratorios infinitesimales. Para encontrar el momento dipolar magnético de cada uno de estos discos giratorios, podemos usar el resultado del apartado anterior, si hacemos , donde es el grosor infinitesimal de cada disco. Por otra parte el radio al cuadrado de cada disco infinitesimal varía de la siguiente manera, en función de : con el radio de la esfera (aplíquese el Teorema de Pitágoras), luego

(7)
(8)
Apartado 3.

Empezamos expresando el momento magnético de la esfera en función de la carga

(9)

También se tiene que donde es el momento de inercia de la esfera sólida con respecto al eje de rotación (un diámetro del mismo en este caso), . Se tiene que , que sustituyendo en la expresión de da

(10)

Este problema ha puesto de manifiesto que es posible obtener el momento dipolar magnético de un objeto que tiene su carga y masa distribuidas de forma uniforme (y de la misma manera - a una distribución volumétrica de carga le debe corresponder una volumétrica de masa) conociendo el momento de inercia en torno al eje de giro y el factor giromagnético , ya que

(11)
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