(1)

Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de primer grado homogénea, éstas se definen como . Comprovemos que esta ecuación es homogénea:

(2)

.

Las ecuaciones diferenciales homogéneas son del tipo , con lo cual, un cambio útil es

(3)

Lo aplicamos a (1) y nos queda

(4)

Y lo que nos queda es una ecuación con variables separables:

(5)

Integrando nos queda que

(6)

(7)

Cuando tenemos una ecuación diferencial del estilo podemos imaginar que en el numerador y en el denominador tenemos la ecuación de dos rectas, sabemos que si

(8)

dichas rectas se cortan en un punto, es decir, el sistema formado por sus ecuaciones es compatible determinado. El procedimiento a seguir es, primero de todo resolver el sistema y encontrar el punto, luego trasladar los ejes a ese punto, es decir, hacer un cambio de coordenadas que analíticamente se puede entender como un cambio de variable:

el cambio que debemos realizar es

Si aplicamos el cambio a (7) nos queda que:

(11)

que (se puede comprobar) es una ecuación homogénea, con lo cual, el cambio [ERROR DE LaTeX. Error: 4 ] es el mejor para proceder:

(12)

que es ya una ecuación de variables separables. Reordenando nos queda

(13)

la segunda integral era una integral racional. Finalmente nos queda

(14)

(15)

(16)

En este caso tenemos una ecuación del estilo , podemos hacer el cambio y nos queda

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. La resolveremos de la siguiente manera

Ahora regresamos a (18)

(22)

si deshacemos el cambio nos queda que

Aplicando algunas identidades trigonométricas

(24)

finalmente

(25)

(26)

Tenemos una ecuación lineal en la que falta la , es decir

Haremos el siguiente cambio de variable

(27)

Aplicamos estos cambios a (26) y nos queda

(28)

que tras integrar

(29)

por conveniencia y para ahorrar notación hemos introducido la constante dentro del logaritmo .

Trabajando un poco la expresión

(30)

y deshaciendo el cambio de variable llegamos a una expresión integrable

(31)

La primera integral se puede mirar en cualquier libro de tablas, , es decir

(32)

Podemos simplificar esta expresión escribiendo anulando los logaritmos con exponenciales y trabajando un poco la expresión nos queda que

(33)