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Nivel
Secundaria
Dificultad
4
 
Categoría
Campo magnético estático

¿Con qué radio de curvatura se mueve una partícula con de carga y 0,5mg de masa cuando entra en una región con campo magnético de módulo 2T, perpendicularmente a las líneas de campo, y con una velocidad de 1000Km/s?

2 soluciones disponibles
John_C
 

Según la ley de Lorenz, la partícula se ve sometida a una fuerza definida por . Esta fuerza es central, ya que siempre es perpendicular a la velocidad. Por tanto, podemos igualar, su módulos con la fuerza centrípeta:

(1)

Despejando r y sustituyendo los valores que tenemos:

(2)
pod
 

Tomamos los ejes coordenados de forma que el campo magnético va según el eje OZ, . Según el enunciado, la velocidad es perpendicular al campo magnético, ésta debe estar en el plano OXY, es decir . Para obtener la fuerza magnética total, debemos efectuar el producto vectorial de ambas cantidades, en virtud de la fuerza de Lorentz,

(1)

Según la segunda ley de Newton, esta fuerza debe ser igual a la masa por la aceleración, . Esto nos da dos ecuaciones diferenciales acopladas,

(2)

Para resolver este sistema, derivamos respecto al tiempo la primera de las ecuaciones en (2),

(3)

Podemos simplificar el sistema substituyendo las derivadas primeras en (3) según su valor obtenido de (2),

(4)

que es la ecuación de un oscilador armónico, cuya solución general es

(5)

Integrando una vez este resultado, tenemos

(6)

donde es una constante de integración. Por otra parte, se obtiene directamente (2),

(7)

que integrando nos da la coordenada y,

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(8)

donde es otra constante de integración (que no tiene por que ser el valor inicial de la coordenada).

Como condiciones iniciales, imponemos que la velocidad en el instante inicial es paralela al eje OX, . Substituyendo en (5) y (7), obtenemos

(9)

En resumen, la trayectoria de la partícula es

(10)

Podemos ver que el movimiento de la partícula es la composición de dos movimientos armónicos, de igual frecuencia y amplitud, en las dos direcciones coordenadas. El resultado de esta composición de movimientos armónicos es un movimiento circular uniforme. Podemos comprobarlo elevando al cuadrado la ecuación (10),

(11)

que, en efecto, es la ecuación de una trayectoria circular de radio

(12)
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