Problemas de geometría lineal y espacio afín

En general una recta en el espacio que pasa por el punto y paralela al vector viene dada paramétricamente por

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Dados dos planos y cualquier recta, , que cumpla cumple también que , donde es la recta intersección entre esos dos planos.

Sean los planos y , si tomamos los vectores y , el vector director, de la recta cumplirá que .

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Tomando para simplificar que , podemos escribir la recta que nos pedían de la forma:

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Para el caso particular en que y y , obtenemos la recta

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El vector perpendicular al plano es , mientras que el vector perpendicular a la recta es . La proyección del vector sobre viene dada por el producto escalar,

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La proyección del vector sobre el plano se obtiene restándole su proyección sobre el vector ,

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Para asegurarnos que la recta es la proyección sobre el plano de la recta , debemos asegurarnos de que pasa por el punto de intersección entre la recta y el plano. Dicho punto se obtiene por simple substitución en la ecuación del plano de la ecuación de la recta,

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para facilitar el proceso, agrupamos todos los términos dependientes y los independientes, utilizando la notación del producto escalar, tenemos

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lo que nos da

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con lo que el punto de intersección será

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Por lo tanto, la ecuación de la recta será

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lo que nos da

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Una recta viene dada por dos puntos, en este caso, como la recta pedida, es la proyección de la recta sobre el plano usaremos el punto intersección de y ; lo llamaremos . El segundo punto de la recta, , lo obtendremos al proyectar otro cualquiera de la recta , sobre . Esto lo haremos usando una recta , perpendicular al plano y que pase por ; tendrá la dirección de .

Para calcular la intersección de y con seguiremos el siguiente método. Sea la recta .

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Donde para y para .

Si expresamos de forma continua

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Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, entonces podemos expresarla como intersección de dos planos

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Así podemos reescribir la segunda ecuación de [ref]61[/tex] como . Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:

Donde , y . Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:

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Así, tenemos que . Que es el punto intersección de y .

Una vez obtenidos e , la recta buscada, , es la que tiene como vector dirección al vector

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Y pasa por cualquier punto perteneciente al plano . Entonces podremos escribir en forma general como sigue

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