Problemas de inducción matemática

(2)

Es decir, si suponemos que la hipótesis es cierta para , debería, también, de ser cierta, para , y eso es lo que vamos a demostrar.

Tenemos que llegar de la hipótesis que hemos supuesto cierta, es decir, , a demostrar que para también lo es. Para ello, primero de todo multiplicaremos en ambos lados de la igualdad por el factor , con lo cual, nos queda:

(3)

.

En el lado derecho de la igualdad, nos aparece enseguida el término n, en cambio, en el lado izquierdo, aplicando la propiedad distributiva nos queda lo siguiente:

(4)

Para más comodidad, operaremos durante los próximos pasos con las dos sumatorias por separado, con lo cual, llamaremos:

y

Extrameos el primer elemento (A); es decir, sumaremos des de hasta

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Extraemos el último término de (B); así que sumaremos des de hasta . Antes, haremos el siguiente cambio de variable:

(6)

De manera que, antes de quitarle a (B) el último factor, la sumatoria con el cambio de variable hecho quedaría:

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Es decir, que hemos sumado des de hasta , con lo que vemos, que el número de términos sumados es el mismo que antes. Ahora, extraemos de la sumatoria el último término y nos queda:

(8)

Por las propiedades de los números combinatorios, sabemos que:

(9)

Con lo cual, si reagrupamos (A) y (B), tenemos que:

(10)

Como y son variables mudas y tienen el mismo recorrido:

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Podemos decir que , si reescribimos la igualdad teniendo esto en cuenta:

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Que, si tenemos en cuenta las propiedades de las sumatorias, es:

(12)

Por tanto, para completar nuestra demostración, tan sólo tenemos que comprovar que

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y sumar de nuevo desde hasta .

Si desarrollamos los coeficientes binominales, tenemos que:

(14)

Como nos interesa tener en el denominador, lo haremos aparecer multiplicando y dividiendo por los términos que faltan en cada fracción, es decir:

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Como que:

y

Tenemos que:

Por tanto, si reescribimos la igualdad anterior:

(17)

Y, por último, si introducimos de nuevo el primero y el último término que hemos extraído en (5) y (8) de la sumatoria, volvemos a tener el mismo recorrido, es decir, desde hasta .

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