Problemas de geometría lineal y espacio afín
y es perpendicular a la recta
Un plano viene dado por 
, donde el vector 
es un vector normal al plano. Una recta 
en forma continua, es decir,
tendrá la dirección del vector 
. Como se nos pide un plano perpendicular a una recta y conocemos el vector director de la recta en cuestión no tenemos, pues, más que elegir como vector normal al plano, 
al vector director de esa recta; hacer 
, así quedaría el plano
Como además se nos pide que el plano pase por un punto 
, para calcular 
sólo tenemos que introducir las coordenadas del punto dado en la ecuación del plano y despejarla.
Y el plano queda de forma general en la forma
Si en la expresión anterior usamos los datos proporcionados
Obtenemos el plano 
y 
.
Dados los planos
hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 
y es paralela a los dos planos.
respecto del plano 
.
Llamaremos R a la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A. De la ecuación del plano , sabemos que su vector perpendicular es (2, -1, -1), por lo que la recta R se puede escribir como
El punto de intersección entre la recta R y el plano , que llamaremos 
, se obtiene substituyendo los valores de 
, 
y 
en la ecuación del plano:
simplificando,
con lo que el punto de intersección se encuentra en 
. Substituyendo en (1), tenemos
El vector que une los puntos O' y A se obtiene simplemente restando,
Por simetría, el vector que une el punto con 
será 
. Por tanto,
Dados el punto 
y el plano 
. El punto simétrico, 
de 
respecto de será el punto que cumpla
donde 
es el punto de intersección entre el plano y la recta , perpendicular a éste y que pasa por . Matemáticamente:
Si expresamos de forma continua
Y ahora resolvemos dos de las tres igualdades, podemos expresar como intersección de dos planos
Así podemos reescribir (5.2) como 
. Para calcular ahora las coordenadas de no tenemos, pues, más que resolver el siguiente sistema, que es compatible determinado:
Donde 
, 
y 
. Lo resolveremos mediante la REGLA DE CRAMER, por lo que:
Así, tenemos que 
. Si ahora utilizamos este resultado en (1), obtenemos las coordenadas del punto simétrico :
En partircular para el caso dado,
Por lo tanto,
Entonces tenemos que
, proyección de la recta
.
Dos barras se cruzan bajo un ángulo 
y se mueven con iguales velocidades 
y perpendicularmente a si mismas, tal como se indica en la figura. ¿Cuál será la velocidad del punto de cruce de las barras?
