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Colección de problemas

Mecánica analítica

Ejercicio 1 (nivel: 1r ciclo )

Considera un oscilador armónico multidimensional, dado por el potencial

$\displaystyle V({\bf {q}}) = \frac12 m \omega^2 {\bf {q}}^2 .$ (1.1)

Encuentra el lagrangiano, los momentos conjugados y el hamiltoniano del sistema. Utiliza coordenadas rectilíneas.

Solución ( pod )

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Ejercicio 2 (nivel: 2o ciclo )

Tenemos una masa $ m_1$ unida a un muelle de constante recuperadora $ k_1$ , cuyo otro extremo esta fijado a un punto. Otra masa $ m_2$ está unida a la primera masa mediante otro muelle de constante $ k_2$ . Todos los muelles cumplen la ley de Hooke. Ambas masas están obligadas a moverse en una única dirección.
  1. Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Razona cuales son las coordenadas generalizadas más adecuadas para estudiarlo.
  2. Escribe el lagrangiano del sistema.
  3. Escribe el hamiltoniano del sistema.
  4. Identifica las cantidades conservadas del sistema.
  5. Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).
  6. Desacopla y resuelve las ecuaciones del movimiento para el caso $ k_1 = k_2 \equiv k$ y $ m_1 = m_2 \equiv m$ . Aplica la solución general al caso en que las dos masas parten del reposo, la primera en el equilibrio y la segunda desplazada una distancia $ d$ de su posición de equilibrio.

Solución ( pod )

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Ejercicio 3 (nivel: 2o ciclo )

Péndulo doble. La masa $ m_1$ de la figura 1 esta unida a un punto fijo con una vara de longitud fija $ \ell_1$ , de forma que puede girar libremente respecto del punto fijo. De la misma forma, la masa $ m_2$ esta unida a la anterior por otra vara rígida de longitud $ \ell_2$ que puede girar libremente, independientemente de la posición de la primera vara. Consideramos que las dos masas pueden moverse tan sólo dentro del plano del papel.
Figure 1: Péndulo doble
\includegraphics{doblepen}
  1. Justifica cuantos grados de libertad tiene este sistema. Escribe las ecuaciones que relacionan las posiciones $ (x_1, y_2)$ y $ (x_2, y_2)$ con las coordenadas generalizadas más adecuadas para describir el sistema.
  2. Escribe el lagrangiano del sistema.
  3. Escribe los momentos conjugados.
  4. Identifica las cantidades conservadas del sistema.
  5. Obtén las ecuaciones del movimiento en el espacio de configuración (formulismo lagrangiano).
  6. En la aproximación de ángulos muy pequeños, el péndulo simple se reduce a un oscilador armónico. Demuestra que, en esta misma aproximación, el péndulo doble se reduce al doble oscilador del problema 2. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas generalizadas de ambos sistemas?

Solución ( pod )

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Ejercicio 4 (nivel: 2o ciclo )

Utiliza la ecuación de Hamilton-Jacobi para resolver el movimiento de un oscilador armónico de masa $ m$ y frecuencia $ \omega$ , en una dimensión.

Solución ( pod )

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