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Mecánica Bachiller

Ejercicio 1 (nivel: bachiller )

Dados los vectores $\vec{a}=(2,6)$ y $\vec{b}=(5,1)$ , calcula:

1. El producto escalar de ambos vectores
2. La proyección de $\vec{a}$ , sobre $\vec{b}$
3. Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que $\vec{b}$
4. Un vector de la misma dirección que $\vec{b}$ y cuyo módulo sea igual a la proyección de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$ .

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 2 (nivel: Bachiller )

Encontrar un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos: $A(0,1,1)$ , $B(2,1,0)$ y $C(3,0,1)$ .

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 3 (nivel: Bachiller )

Dados los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ con origen en el punto común $\left(0,1,2\right)$ y extremos $A\left(-1,2,3\right)$ y $B\left(2,-1,1\right)$ respectivamente, calcular:

1. Producto escalar $\vec{A}\cdot\vec{B}$ .
2. Producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ .
3. Producto vectorial $\vec{B}\times\vec{A}$ .

Solución ( pod )

Ejercicio 4 (nivel: Bachiller )

Dados los planos $\pi_{0}\equiv 3x-3y-4z+9=0$ y $\pi_{1}\equiv x+5y-6z-4=0$ , hallar la ecuación de la recta $\mathcal{R}$ que pasa por el punto $A(2,5,-1)$ y es paralela a los dos planos.

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 5 (nivel: Bachiller )

Hallar el simétrico $A'$ , del punto $A(0,1,-2)$ respecto del plano $\pi \equiv 2x-y-z+5=0$

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 6 (nivel: Bachiller )

Hallar la ecuación de la recta $\mathcal{R}_{\pi}$ , proyección de la recta $\mathcal{R}\equiv \left \{ \begin{array}{ccr} x &=& p_{1}+r_{1}t \\ y &=& p_{2}+r_{1}t \\ z&=& p_{3}+r_{1}t \end{array} \right.$ sobre el plano $\pi_{0}\equiv \beta_{0}+\beta_{1}x+\beta_{2}y+\beta_{3}z=0$ .

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 7 (nivel: Bachiller )

Dados dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , obtener el vector proyección ortogonal de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$ . Aplicarlo al caso en que $\vert\vec{a}\vert= \unit{2}\centi\meter$ , $\vert\vec{b}\vert=\unit{3}\centi\meter$ y $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=45^\circ$ , obtener también la proyección ortogonal de $\vec{b}$ sobre $\vec{a}$ .

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 8 (nivel: Bachiller )

Si $A(1,2,3)$ , $B(-1,2,0)$ y $C(2,3,-1)$ , hallar la distancia de $A$ a $B$ y el ángulo $ACB$ .

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 9 (nivel: Bachiller )

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $A(3,1,2)$ y es perpendicular a la recta $\mathcal{R}\equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{4}$

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 10 (nivel: Bachiller )

Hallar las coordenadas de un vector paralelo a los dos planos, $\pi_{1} \equiv x+z = 0$ y $\pi_{2} \equiv 2x-y+z-3=0$ .

Solución ( Ghiret )

Ejercicio 11 (nivel: Bachiller )

¿Son coplanarios los puntos $A(1,2,-1)$ , $B(3,0,2)$ , $C(1,-1,0)$ y $D(0,2,-1)$ ?

Solución ( Ghiret )

Footnotes

...¹

Si hubiésemos tomado el vector $\vec{BA}(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3})$ el resultado hubiera sido el mismo ya que $\vec{AB}=-\vec{BA}$ y vice versa.

... expresión²

Para el caso en que hubiésemos tomado $\vec{BA}$ , su módulo vendría dado por

$$\vert\vec{BA}\vert = \sqrt{\sum_{i=1}^{i={3}}{(a_{i}-b_{i})^{2}}}$$

que es igual al del vector $\vec{AB}$

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