Problemas de inducción matemática

Nivel: Primer ciclo

1
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
3
 

Demuestra que, para todo entero positivo n se cumple:

1..

2..

3..

Solución disponible
pod
 
2
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra, para

(1)
Solución disponible
pod
 
3
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demuestra que, para , se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 
4
Demostración por inducción
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
5
 

Demostrad por inducción que:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
5
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra la siguiente desigualdad

(1)
Solución disponible
pod
 
6
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demuestra, por inducción, que todas las potencias naturales de seis, , terminan en seis.

Solución disponible
pod
 
7
Binomio de Newton
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
7
 

Demostrad que se cumple:

(1)
Solución disponible
arreldepi
 
8
Nivel
Primer ciclo
Dificultad
9
 

Dados demostrar que para todo entero, se cumple

(1)
Solución disponible
pod
 

Paso 1. Para n=1 tenemos

(1)

que obviamente es cierto (se cumple la igualdad).

Paso 2. Por hipótesis, suponemos cierta la inecuación para n arbitrario,

(2)

Paso 3. Debemos demostrar que (2) implica que la inecuación se cumple para n+1,

(3)

Comenzamos desarrollando el término de la izquierda de (3) para que se parezca lo más posible al de (2),

(4)

El término entre paréntesis es idéntico al primer miembro de (2), lo que nos permite escribir

(5)

es decir

(6)

Si somos capaces de demostrar que el segundo miembro de (6) es menor o igual al segundo miembro de (3), entonces tendremos una cadena de desigualdades del estilo , que demostraría que la ecuación (3) es cierta. Sigamos este camino,

(7)

desarrollando,

(8)

Los términos con cancelan. Reagrupando el resto de términos,

(9)

Tenemos tres casos:

  • . En este caso, se cumple la igualdad.
  • . En este caso, el término entre paréntesis es positivo, por lo que se puede cancelar tranquilamente, dándonos . Dado que la potencia es una función monótona creciente (no cambia el orden de dos números reales), esta desigualdad es coherente: (9) es cierta.
  • . En este caso, el término entre paréntesis es negativo; para cancelarlo, es necesario cambiar el signo de la desigualdad, por lo que tenemos . Según el mismo razonamiento, esta desigualdad sigue siendo coherente: (9) también es cierto en este caso.

Como vemos, (9) es cierto en todos los casos. Por lo tanto, (3) es cierta si (2) lo es. Por el principio de inducción, esto completa la demostración.

Búsqueda rápida de problemas
Categoría
 
Nivel
 
Volver a la página principal
© 2003—2024, La web de Física
Dirección de contacto
Créditos