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Date: Septiembre - Octubre del 2001
La densidad total de energía viene dada por
. La radiancia
, flujo por
unidad de tiempo de energía emitida, se relaciona con la densidad total de energía por
. La
mismas relaciones son ciertas para la densidad espectral de energía i la radiancia espectral.
Stefan dedujo que la radiancia se relaciona con la temperatura según
, donde
es la constante de Stefan-Boltzmann. Wien dedujo también que
, de donde se deduce la ley del desplazamiento, que afirma que la frecuencia donde se
emite el máximo de potencia es proporcional a la temperatura.
Max Plank dedujo experimentalmente la expresión definitiva
donde
Esta expresión se puede justificar suponiendo que
representa el número de modos en la cavidad con
frecuencia entre
y
. Si se supone que la energía de los modos sigue la distribución de Boltzmann
discreta
donde
y
es una constante de
normalización
. La energía media de cada modo viene dada por
Comparando con la ley de Plank, vemos que
El límite
da que la energía media de los modos es
(teorema de equipartición), resultado que
resulta muy errónea a frecuencias altas (catástrofe ultravioleta). Los experimentos confirman la ley de Plank con
y la discretización de la energía.
Si para desprender el electrón del átomo se necesita una energía
(función de trabajo), la energía cinética del
electrón vendrá dada por
. Esto indica que existe una frecuencia mínima para la cual la energía del
fotón no es suficiente para desprender el electrón,
.
Si entre el ánodo y el cátodo se establece un potencial tal que repele los electrones salientes, llegará un momento que
tan solo los electrones más rápidos podrán llegar al cátodo, se tendrá
. El potencial de corte será, pues
Supongamos que el electrón incidente
interacciona con un electrón en reposo, produciendo un nuevo fotón
formando un ángulo
, mientras que el electrón retrocede con una energía
cinética
en un ángulo
respecto la dirección de incidencia.
La conservación de la energía relativista, y las dos componentes del momento lineal, obtenemos las ecuaciones
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La solución a estas ecuaciones es
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Los dos picos se producen por que no solo los electrones desvían los fotones, también los núcleos lo hacen. Como la diferencia de longitud de onda es inversamente proporcional a la masa de la partícula que produce la desviación, y los núcleos son miles de veces mas pesados que los electrones, la diferencia de longitud de onda producida por los núcleos no se aprecia en comparación a la producida por los electrones.
Se consideraba que los átomos estaban formada por una nube cargada positivamente, en la cual se incrustan electrones, haciendo neutro el átomo (modelo pastel de pasas).
Rutherford supuso, entonces, que las partículas
eran dispersadas por otras partículas positivas, siguiendo la
ley de Coulom
. Según la mecánica, la trayectoria debe ser una hipérbola, recorrida de forma que
la energía y el momento angular se mantienen constantes. Si
es el parámetro de impacto, el momento angular se puede
escribir como
donde
es la velocidad en el infinito. Igualmente, la energía se puede escribir
. Se puede demostrar que el ángulo
de dispersión (ángulo entre las dos asíntotas) viene
dado por
Sea
el número de partículas
que inciden por
,
el número de partículas que
salen dispersadas por cada átomo por ángulo sólido. El ángulo sólido que ocupa el detector de partículas
a la
salida, se traduce en que recoge las partículas que vienen con un intervalo de parámetros de impacto al rededor de
.
Por tanto
será el número de partículas que pasan en ese intervalo, es decir, que pasan por la
superficie
. Por tanto
Si aplicamos la expresión del ángulo de dispersión, tenemos
donde
Ajustando los parámetros de la sección eficaz, Rutherford podía saber la carga del núcleo. Encontró que la carga era
siempre un múltiplo entero de la carga del electrón,
, donde
coincidía con el número del elemento en la
tabla de Mendeleiev, dando significado al número atómico.
Rutherford encontró que su modelo explicaba muy bien los resultados para diversos materiales. Por lo tanto, los átomos debían estar compuestos de un núcleo positivo, y los electrones al rededor de él. Para medir el tamaño del núcleo, aumentó la energía hasta que pudieran traspasar totalmente la barrera repulsiva del núcleo,
Obtuvo que los núcleos eran cuatro ordenes de magnitud más pequeños que el átomo en si.
Como el modelo funciona correctamente, el electrón ha de estar lejos del núcleo, a la distancia del radio atómico. Para que no colapse a la atracción del núcleo, el electrón por tanto ha de estar girando. Sin embargo, según la electrodinámica, un electrón girando ha de perder energía por radiación y caer sobre el núcleo.
Del tercer postulado se deducen los radios de las orbitas posibles
donde
Según la mecánica, la energía de una órbita de este tipo es
donde
En realizar una transición de orbita, se emite un fotón de frecuencia
donde
Sin embargo, si los electrones van demasiado rápidos, provocaran colisiones con los átomos de mercurio, siendo frenados y excitando los electrones del Hg. Si continuamos aumentando el potencial acelerador, aunque se los electrones se frenen por los átomos de mercurio, volverán a acelerarse y de nuevo podrán provocar corriente entre la rejilla y el ánodo. De esta forma, conforme aumentamos el potencial acelerador, la corriente va aumentando, disminuyendo bruscamente en el momento que los electrones son capaces de excitar el mercurio.
Por otra parte, los átomos de mercurio excitados realizaran la transición de relajación en un tiempo
, emitiendo luz de acuerdo con el modelo de Borh. Esta radiación, efectivamente observada, confirma los
postulados de Borh.
En el caso del mercurio, los saltos de corriente bruscos se producen a intervalos de
, energía que corresponde
a la de ionización del mercurio. Por otra parte, la luz emitida tiene una longitud de onda de
.
El espectro de los rayos X tiene un fondo, causado por la radiación de frenado, conocida de la electrodinámica, que se
genera cuando los electrones son frenados bruscamente al llegar al ánodo. El espectro se termina el una longitud de
onda
, que se corresponde con la energía cinética máxima de los electrones, que no depende del material.
Sin embargo, aparecen dos líneas de emisión muy pronunciadas
i
, que no parecían tener explicación.
Por otra parte, si se hace incidir el rayo X sobre el mismo material del ánodo que lo ha generado, se observa un espectro de absorción que crece según la longitud de onda, dando un salto en dos posiciones que, además, no coinciden con las líneas de emisión.
Se cree que los electrones que inciden sobre el átomo ionizan los electrones de las órbitas mas profundas. Los
siguientes electrones del átomo van rápidamente a ocupar los espacios libres. La línea
se origina por los
electrones del segundo nivel que van a ocupar el lugar perdido en el nivel fundamental, mientras que la línea
se origina cuando son los del segundo nivel los que bajan. Por otra parte, no se pueden absorber los fotones de estas
líneas ya que, cuando inciden a un átomo en reposo, este tiene el segundo y el tercer nivel completamente llenos.
Moseley encontró una ley que predice la longitud de onda de la línea
Esta ecuación recuerda la fórmula de Borh, donde se ha apantallado una carga
donde
La cuantización de una componente del momento angular se traduce en la cuantización de la orientación de las órbitas: no pueden orientarse en cualquier dirección. Puesto que la elección de el eje Z es propia del observador, debe introducirse en el átomo externamente, por ejemplo mediante un campo magnético. Los electrones, si fueran libres, se colocarían en órbitas perpendiculares al campo, pero dada la cuantificación de Sommerfeld no todos pueden conseguirlo. Por lo tanto, según la orientación, los niveles se desdoblan. Esto se conoce como efecto Zeeman, y está comprobado experimentalmente.
Las predicciones cuantitativas del modelo de Sommerfeld funcionaban parcialmente tan solo en el átomo de hidrógeno.
Según esta hipótesis, la única manera de confinar una onda sin que esta desaparezca es que se sitúe en una onda estacionaria. Por lo tanto, cuando un electrón ligado a un átomo, debe formar una onda estacionaria, en la cual la longitud de la órbita ha de ser un múltiplo de la longitud de onda
Si la órbita es circular se cumple
ecuación que coincide con la hipótesis cuántica de Borh.
Dado que una onda no puede ser de infinita longitud (como suponemos idealmente), no puede nunca ser realmente monocromática. Supongamos una onda del tipo
El espectro de frecuencias vendrá dado por la transformada de Fourier
El espectro de frecuencias presenta dos picos (simétricos respecto del origen) al rededor de
donde
Según la hipótesis de Plank y Einstein
Este tipo de relaciones es habitual cuando se trabaja con variables conjugadas según una transformada de Fourier. En general, el producto de las desviaciones tendrá siempre un valor mínimo. Esto se conoce como principio de incertidumbre de Heisemberg, e implica que el valor de dos cantidades conjugadas según una transformación de Fourier no pueden conocerse con precisión arbitraria simultáneamente. Los ejemplos más habituales son
El principio de indeterminación de energía y tiempo implica que, como los fotones emitidos en una transición no pueden
ser indefinidos, su duración temporal será finita (los niveles se desexcitan en
) y la indeterminación en la
energía no será nula. Si la energía de los fotones no esta determinada, tampoco lo estará la energía de los niveles.
Dicho de otra manera, si la energía de los niveles no esta perfectamente determinada, no pueden ser estables.
Donde el número de ondas cumple
Por otra parte, podemos escribir el momento lineal
Con lo que nos queda la ecuación de Schödinger independiente del tiempo:
Del mismo modo que en el caso de la cuerda, la ecuación de modos debería poder deducirse por separación de variables de
una ecuación general, que no contuviera las cantidades de separación cuantizadas (en este caso, la energía). Si
suponemos que las ondas de electrones vienen definidas por una función de onda del tipo
, la
ecuación general hallada por Schödinger (y cuya validez viene tan solo justificada experimentalmente, ya que no es la
única ecuación que da lugar a la ecuación de modos separada) es
El significado de la función de onda ha sido cuestionado por muchos físicos. La interpretación ortodoxa más comúnmente
aceptada es que la cantidad
representa la probabilidad de encontrar la partícula entre
la posición
y
en el instante
. Es decir, la magnitud
actúa como
una densidad de probabilidad, y por tanto deberá cumplir la condición de normalización
Para obtener de nuevo la ecuación de modos, podemos suponer que la dependencia del tiempo es oscilatoria, es decir
con lo que la distribución de probabilidad queda como
Según esta filosofía, cada magnitud física
tendrá asociada un operador diferencial
tal que sus valores propios
son los valores permitidos de la magnitud,
Dado que el momento lineal de una partícula se puede escribir
, debemos hallar un operador
que al ser aplicado a una función de onda nos de un valor propio
. El operador encontrado por Schödinger
(avalado por la experimentación) es
con lo que el operador asociado a la energía será
Además, según los teoremas generales para ecuaciones de valores propios, si tenemos dos funciones de onda
i
asociadas a energías (valores propios) diferentes, se tiene la condición de ortogonalidad
El espacio queda dividido en tres zonas, (I) izquierda del pozo, (II) interior del pozo y (III) derecha del pozo. La
solución a la ecuación de Schödinger en cada zona, si consideramos estados ligados con
, vienen dadas por
donde
En un estado ligado, si la partícula no debe poder escapar totalmente del pozo, por lo que las condiciones de contorno son
Estas condiciones nos fijan
Como tanto el potencial como la ecuación tienen simetría de paridad, también la tendrán las soluciones,
, y existirán soluciones pares y impares.
Las soluciones pares serán
donde la constante de normalización
Las condiciones de continuidad exigen
ecuación que determinará los valores posibles de la energía.
Por otra parte, las soluciones impares serán
donde la constante de normalización
Las condiciones de suavidad ahora nos imponen la ley de cuantización
Se puede ver que siempre existe al menos una solución (par). Además, las soluciones están ordenadas, de menor a mayor energía, siguiendo siempre la secuencia par, impar, par...
Si definimos los parámetros del pozo
podemos escribir el potencial y la energía de cada modo según
mientras que las condiciones de cuantización, que nos permitirán conocer los valores posibles de
con lo que la ecuación de Schödinger independiente del tiempo es
Para poder escribir la ecuación de forma adimensional, definimos los parámetros
si hacemos el cambio de variables
De nuevo, las condiciones de contorno son
donde
y los niveles de energía permitidos son
donde
Si todas las partículas son emitidas desde la izquierda, no existe ninguna fuente en el lugar positivo de donde pueden
venir partículas en dirección regresiva, es decir
. Las condiciones de suavidad nos permiten hallar las
constantes las demás constantes en función del flujo de partículas incidentes
. En realidad, tan solo nos interesan
las constantes
i
, que resultan ser
El coeficiente de transmisión de partículas viene dado por
Mientras que el coeficiente de reflexión resulta ser
El coeficiente de reflexión se anula si
es decir, si la longitud del pozo es un múltiplo de la longitud de onda der la partícula en cuestión.
donde
Si suponemos
y procediendo de manera similar al apartado anterior, obtenemos el coeficiente de transmisión
donde
Vemos que en ningún caso podemos obtener
En el caso que
, obtenemos
Puesto que en una dimensión, el operador del momento lineal se define como una derivación respecto la variable, resulta lógico escribir el momento lineal en tres dimensiones como
y, por lo tanto, la ecuación de Schödinger en varias dimensiones se escribe como
Por otra parte, en tres dimensiones también cabe definir el momento angular
. De la misma forma
que anteriormente, podemos encontrar los operadores asociados a cada una de sus componentes, que en coordenadas
esféricas
se escriben
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Vemos que la expresión anterior es la misma que la del momento angular, por lo que podemos escribir
Si suponemos una separación de variables de la ecuación de Schödinger del tipo
obtenemos la ecuación separada para los ángulos
que nos indica la cuantización de
La última de estas ecuaciones tiene por solución general
Aplicando el operador
es decir, la componente
Las soluciones a estas ecuaciones para
se conocen como armónicos esféricos, que tan solo tienen
sentido para los valores
, con
entero, i para
. Los
armónicos esféricos se pueden escribir como
donde
La condición de ortogonalidad de los armónicos esféricos es
Por lo tanto, para todos los los potenciales radiales, tenemos cuantizado el modulo del momento angular y también una de sus componentes,
como
Si suponemos una separación de variables del tipo
la ecuación radial es
Para escribir la ecuación en forma adimensional, definimos
y realizamos el cambio de variable
Las condiciones de contorno deben ser
La solución, normalizada, resulta ser
donde
mientras que la condición de ortogonalidad resulta ser la acostumbrada
En resumen, hemos encontrado tres numeros cuánticos: el número cuántico principal (de Borh)
, que
influye a la energía; el número cuántico secundario
, que influye en el modulo del momento angular;
y el tercer número cuántico
, que influye a la componente
del momento angular.
Como tan solo el número cuántico principal influye en la energía, varios cada nivel energético constará de diversos subniveles, es decir, la energía está degenerada. La degeneración vendrá dada por
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