Teorema de Ehrenfest

Barbol


Este teorema se enmarca en la teoría cuántica de la física y su importancia radica en que gracias a él recuperamos la física newtoniana como la interacción de las medias de los observables cuánticos.

1 El teorema

1.1 Enunciado

El teorema de Ehrenfest nos explica cómo varía el valor medio de un observable dado ($ A$ ) con el tiempo, relacionándolo con el conmutador del hamiltoniano del sistema con el operador hermítico asociado al observable:

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm d\!}\nolimits \left< A\right>}{\mathop{\rm d\!}...
...t< \frac{\partial A}{\partial t}\!\right>+\frac{i}{\hbar}\left< [H,A]\right>.
$

Si el operador $ A$ no depende del tiempo entonces el teorema de Ehrenfest se reduce a lo siguiente:

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm d\!}\nolimits \left< A\right>}{\mathop{\rm d\!}\nolimits t}\!=\frac{i}{\hbar}\left< [H,A]\right>.
$

1.2 Demostración

Derivando el valor medio del operador tenemos que:

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm d\!}\nolimits \left< A\right>}{\mathop{\rm d\!}...
...\bar{\psi} A \frac{\partial \psi}{\partial t}\! \mathop{\rm d\!}\nolimits x,
$

en donde podemos identificar el segundo término como el valor medio de la derivada parcial del operador $ A$ respecto al tiempo.

Por otro lado, si tenemos en cuenta que el operador hamiltoniano cumple, según la ecuación de Schrödinger1, $ H\psi=i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}\!$ entonces:

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t}\!=\frac{1}{i\hbar}H\psi,
$

de donde podemos escribir (teniendo en cuenta la hermiticidad del hamiltoniano) que:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}\! A...
...ty}\bar{\psi} A \frac{\partial \psi}{\partial t}\! \mathop{\rm d\!}\nolimits x$ $\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\left(\overline{\frac{1}{i\hbar}H\psi}\ri...
...infty}^{\infty}\bar{\psi} A \frac{1}{i\hbar}H\psi \mathop{\rm d\!}\nolimits x=$    
$\displaystyle =\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\bar{\psi} HA \psi \mathop{\rm d\!}\nolimits x$ $\displaystyle -\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\bar{\psi} AH \psi\,\mathop{\rm d\!}\nolimits x=\frac{i}{\hbar}\left< [H,A]\right>,$    

con lo que el teorema queda demostrado.

2 Consecuencias

Como ya se ha dicho, gracias a este teorema se recupera la física newtoniana, veámoslo:

2.1 El operador posición

Veamos cómo varía la media del operador posición con el tiempo. Si esto es consecuente con la física clásica deberíamos encontrar que el resultado es la media del vector velocidad, veámoslo en una dimensión, pero la generalización a 3D es inmediata. Para resolverlo emplearemos que $ [r_{i},p_{j}]=i\hbar\delta_{ij}$ , y que $ [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ , con lo cual:

$\displaystyle [r,H]=\frac{1}{2m}[r,p^{2}]=\frac{1}{2m}([r,p]p+p[r,p])=\frac{1}{2m}(2i\hbar p)=\frac{i\hbar p}{m},
$

donde no aparece el término potencial porque suponemos que depende de la posición y un operador siempre conmuta consigo, visto esto nos queda:

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm d\!}\nolimits \left< r\right>}{\mathop{\rm d\!}...
...left< [r,H]\right>=-\frac{i^{2}\left< p\right>}{m}=\left< \frac{p}{m}\right>,
$

como cabía esperar. Nótese que el operador posición no depende del tiempo y por esto no interviene el valor esperado de la derivada temporal del operador.

2.2 El operador momento. Segunda ley de Newton.

Veamos, igual que hicimos antes, cuánto vale el conmutador $ [p,H]=[p,U(r)]$ , ya que la otra parte del hamiltoniano va con el operador momento y un operador siempre conmuta consigo mismo.

$\displaystyle [p,U(r)]=[-i\hbar\nabla,U(r)]=-i\hbar[\nabla,U(r)]
$

Para evaluar el conmutador al que hemos llegado podemos aplicarlo sobre una función arbitraria (pues todo conmutador es un operador), de modo que:

$\displaystyle [\nabla,U(r)]\psi=(\nabla U(r)-U(r)\nabla)\psi=\nabla(U(r)\psi)-U(r)(\nabla\psi)=\psi(\nabla U(r)),
$

en donde hemos aplicado la regla de la cadena para un producto. Así que, en definitiva, tenemos:

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm d\!}\nolimits \left< p\right>}{\mathop{\rm d\!}...
...frac{-i}{\hbar}(-i\hbar)\left< \nabla U(r)\right>=\left< -\nabla U(r)\right>,
$

que coincide con la segunda ley de Newton.

2.3 Conservación de la probabilidad

Si ahora escogemos como operador un número igual a la unidad (por supuesto, este operador conmuta con cualquier otro) entonces llegamos al resultado siguiente:

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm d\!}\nolimits <\!\!\psi\vert\psi\!\!>}{\mathop{\rm d\!}\nolimits t}\!=0,
$

de importancia esencial para la interpretación probabilísiica de la mecánica cuántica. La probabilidad total se conserva con el tiempo, como se desprende de que la norma del vector $ \vert\psi\!\!>$ se conserve. Esta demostración de la conservación de la probabilidad es global, pero se puede demostrar que la conservación también es local, con lo cual la probabilidad no puede desaparecer o aparecer de forma espontánea, sólo se puede deber a que una partícula entre o salga del volumen considerado.

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