Ecuaciones de Lagrange

Barbol

Mayo 2003

Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.

1 Parámetros de las ecuaciones

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes:

  • $T$ - Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.
  • $V$ - Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.
  • $q_{j}$ - Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.
  • $\dot{q}_{j}$ - Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.
  • $Q_{j}$ - Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.

2 Formulaciones de las ecuaciones

2.1 Caso general

La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículas es


\begin{displaymath}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}
\end{displaymath} (1)

El subíndice $j$ va desde $1$ hasta $n$, por lo que éstas son $n$ ecuaciones (siendo $n$ el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas $n$ ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo instante.

2.2 Caso conservativo

Si en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:


\begin{displaymath}
Q_{j}=\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \cdots , q_{n})}{\partial q_{j}}\equiv \frac{\partial V}{\partial q_{j}}
\end{displaymath} (2)


\begin{displaymath}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\r...
...partial T}{\partial q_{j}}+\frac{\partial V}{\partial q_{j}}=0
\end{displaymath} (3)

Si definimos $L\equiv T-V$ como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a que $\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \dots , q_{n})}{\partial \dot{q}_{j}}=0$, es decir, debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:


\begin{displaymath}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0
\end{displaymath} (4)

2.3 Caso continuo

En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana $\mathcal{L}$, de modo que la lagrangiana sería

\begin{displaymath}L= \int_{0}^{L} \mathcal{L}dx  . \end{displaymath}

La forma de la densidad lagrangiana es:


\begin{displaymath}
\mathcal{L}=\frac{1}{2} \Big[ \rho \Big( \frac{\partial q}{\...
...\Big) ^{2}-T\Big( \frac{\partial q}{\partial x}\Big) ^{2}\Big]
\end{displaymath} (5)

Con $\rho$ la densidad del objeto y $T$ la tensión a la que está sometido.

Si denotamos $\dot{q}=\frac{\partial q}{\partial t}$ y $q'=\frac{\partial q}{\partial x}$ podemos escribir las Ecuaciones de Lagrange como:


\begin{displaymath}
\frac{\partial }{\partial t}\Big( \frac{\partial \mathcal{L}...
...l q'}\Big) -\Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}\Big)
\end{displaymath} (6)

3 Teoremas de conservación

Cada simetría en la función lagrangiana de un sistema implica una ley de conservación. Estas simetrías se deben a las coordenadas cíclicas.

Una coordenada cíclica es aquella que no aparece en la lagrangiana, puede ser una coordenada generalizada o una velocidad generalizada.

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

  • Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) $\Rightarrow$ conservación de la energía.
  • Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) $\Rightarrow$ conservación del momento lineal.
  • Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) $\Rightarrow$ conservación del momento angular.

4 Observaciones

Las coordenadas generalizadas del sistema no tienen por que ser distancias, pueden ser ángulos, energías, cargas eléctricas...

Hay infinitos modos diferentes de escoger las coordenadas generalizadas (aunque cada sistema tiene un número fijo de grados de libertad).

En estas ecuaciones desaparece el carácter vectorial. La lagrangiana es un escalar (y por lo tanto es invariante bajo cambios de coordenadas).

La función lagrangiana depende de las coordenadas generalizadas, las velocidades generalizadas y el tiempo, por tanto las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas se tratan de modo independiente, por ejemplo, una derivada con respecto a $q_{j}$ no afectaría a $\dot{q}_{j}$.

5 Comentarios

Las ecuaciones de Euler-Lagrange surgen de modo natural mediante el cálculo de variaciones y el problema de la braquistócrona. El sentido matemático de la lagrangiana es aquella cantidad que minimiza la acción, así que lo que tenemos aquí es un principio de mínima acción.

Las definiciones de las funciones lagrangianas dadas aquí sólo son válidas dentro de la mecánica clásica, para problemas de relatividad o de electromagnetismo (por poner dos ejemplos) habrá que definir esta función de algún otro modo, que no veremos aquí.

La dinámica de Lagrange no es en absoluto una nueva teoría para la mecánica, los resultados obtenidos por este método han de ser idénticos a los que proporcionan las fórmulas de Newton, lo que varía es el procedimiento para llegar al resultado, mientras que con la mecánica newtoniana se maneja un agente exterior al cuerpo (fuerzas) en la mecánica analítica se manejan magnitudes asociadas al cuerpo (energías).

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