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Fundamentos de astronomía

Barbol


Índice General

Nota

Estos apuntes se basan en las lecciones impartidas en la asignatura Fundamentos de Astronomía del año 2003 en la Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela por los profesores Josefina F. Ling y José Ángel Docobo.

En el primer tema (trigonometría esférica) se presenta la trigonometría sobre la superficie de una esfera. Para su desarrollo se presuponen conocimientos básicos en trigonometría plana, cambios en sistemas de coordenadas, cálculo algebraico y cálculo diferencial.

El segundo tema nos acerca a la descripción de la Tierra en cuanto a su forma y las dimensiones de ésta. A continuación se dan los conceptos de coordenadas terrestres para situar los puntos sobre la superficie de la Tierra y poder determinar unívocamente la posición desde las que hacemos las observaciones. No se requiere ningún conocimiento matemático complicado, simplemente trigonometría plana básica.

En los temas tres y cuatro se explican algunas generalidades sobre la Tierra, los planetas y su movimiento de traslación, pero sin entrar mucho en detalles. Tabmién se dan definiciones necesarias para el tema cinco, el más importante de este curso (y objetivo del mismo) en el que se enseñan los diferentes tipos de coordenadas estelares y cómo pasar de unos a otros. Para ello se empleará la trigonometría esférica que se aprendió en el primer tema.

Finalmente, en el tema seis se comentan algunos problemas en astronomía de posición, como pueden ser la medida del tiempo o cuando es mejor observar los planetas. Tampoco se entra en detalle en este tema.

Las imágenes del tema cinco están sacadas del libro Fundamentos de astronomía, de M. Seeds. Las imágenes del tema dos son retoques hechas por el autor de los apuntes a una imagen sacada de internet, al igual que la imagen del triángulo esférico que aparece en la primera página de los apuntes. El resto son hechas a mano (en realidad sobra este comentario, se nota) por el autor.

1 Trigonometría esférica

1.1 Definiciones básicas

Esfera:
el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan una distancia $r$ (que llamaremos radio) de un punto llamado centro. Hay que hacer notar que aunque la esfera es un volumen tridimensional finito en el espacio euclidiano su superficie es una superficie bidimensional ilimitada. Sobre esta superficie podemos definir una geometría, la cual llamaremos geometría esférica, que difiere en varios puntos de la geometría euclidiana.
Círculo máximo:
es la intersección de un plano que pasa por el centro y la esfera. Este círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios. Cualquier plano que no pase por el centro de la esfera la interseca en un círculo menor.
Polos de un círculo máximo:
(o simplemente polos) son los extremos del diámetro de la esfera perpendicular a ese círculo máximo.

Con estas definiciones podemos entonces definir la distancia esférica entre dos puntos como la medida sobre el círculo máximo que los une, entendiendo por distancia el arco más corto que los une. Esta distancia se hará en medidas angulares (i.e. radianes o grados sexagesimales). Por la propia definición la distancia de un polo a un punto cualquiera de su círculo máximo es siempre igual a un cuadrante ($90 ^{\circ}$).

1.2 Triángulo esférico

Figura 1: Imagen de un triángulo esférico
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{triangesf}

El triángulo esférico es la porcion de superficie esférica limitada por tres círculos máximos, con la condición de que cada uno de los arcos que limita la figura es menor que una semicircunferencia. Los vértices de este triángulo se suelen denotar por letras mayúsculas y sus lados opuestos por la letra minúscula correspondiente.

Los ángulos se definen a partir del diedro definido por los lados y el centro de la esfera, mientras que los lados se corresponden a los ángulos interiores. Tanto ángulos como radios son, por tanto, medidas angulares.

1.2.1 Triángulo polar

Dado un triángulo esférico $ABC$ decimos que $A'B'C'$ es triángulo polar del primero si cumple:

  • Cada vértice de $A'B'C'$ es polo de su lado correspondiente $a$, $b$ o $c$.
  • Los vértices correspondientes de $ABC$ y $A'B'C'$ están en el mismo hemisferio.

Proposición 1   Si $A'B'C'$ es triángulo polar de $ABC$, entonces $ABC$ es triángulo polar de $A'B'C'$.

Para demostrar esto (lo haremos sólo para un ángulo y su lado correspondiente) tenemos que ver que $A$ es polo de $a'$ y que $A$ y $A'$ están en el mismo hemisferio. La segunda parte es trivial. Para la primera parte demostraremos que $\overline{AB'}=90 ^{\circ}$ y $\overline{AC'}=90 ^{\circ}$.
Como $B'$ es polo de $b$ tenemos la distancia $\overline{AB'}=90 ^{\circ}$ ($A \in c$). Procedemos análogamente para $C'$. Por lo tanto $\overline{AB'}=\overline{AB'}=90 ^{\circ}$ y $A$ es polo de $a'$.

Proposición 2   Si $A'B'C'$ es triángulo polar de $ABC$ entonces:
  • Los vértices de uno son suplementarios de los lados del otro ( $A'=180 ^{\circ}-a$), ( $A=180 ^{\circ}-a'$)
  • Los lados de uno son suplementarios de los vértices del otro $a=180 ^{\circ}-A'$), ( $a'=180 ^{\circ}-A$)

Figura 2: Demostración de la proposición 2
% latex2html id marker 4295 \includegraphics[width=0.25\textwidth]{prop2}

Como $A$ es polo de $a'$ y $c$ y $b$ son arcos de círculos máximos entonces $A=\overline{MN}$. Es obvio además que $\overline{B'N}=\overline{B'M}+\overline{MN}$ y $\overline{MC'}=\overline{MN}+\overline{NC'}$.
Como $B'$ es polo de $b$ entonces $\overline{B'N}=90 ^{\circ}$. Análogamente $\overline{MC'}=90 ^{\circ}$. Sumando las expresiones obtenemos:

\begin{displaymath} 180 ^{\circ}=\underbrace{\overline{B'M}+\overline{MN}+\over... ...}+\underbrace{\overline{MN}}_{A}\rightarrow 180 ^{\circ}=a'+A \end{displaymath}

1.2.2 Relaciones en un triángulo esférico

Entre los lados:
El lado de un triángulo esférico es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia ($b-c<a<b+c$).
La suma de los tres lados de un triángulo esférico es siempre menor que cuatro rectos ($a+b+c<2\pi$).
Entre los ángulos:
la suma de los tres ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos y menor que seis ( $2\frac{\pi}{2}<A+B+C<6\frac{\pi}{2}$).
Entre ángulos y lados:
Si un triángulo esférico tiene dos lados iguales sus lados opuestos también lo son ( $A=B\Rightarrow a=b$).
Si un triángulo esférico tiene dos lados desiguales a mayor ángulo se opone mayor lado ( $A<B\Rightarrow a<b$).

1.3 Fórmulas fundamentales de primer orden de la trigonometría esférica

Resolver un triángulo esférico es calcular tres elementos del mismo una vez que se conocen los otros tres. Para ello emplearemos las fórmulas fundamentales de la trigonometría esférica. Las de primer orden nos relacionan los ángulos y lados enteros a través de sus funciones trigonométricas. Las de segundo orden relacionan los semielementos de los triángulos esféricos a través de esas mismas funciones.

1.3.1 Fórmulas de Bessel

Para encontrar las relaciones entre lados y ángulos del triángulo esférico partimos de un sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 3: Deducción de las relaciones entre lados y ángulos
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{deduccion}

El punto $P$ dista del origen una unidad y tiene coordenadas $P=(x,y,z)$. Por inspección de la figura 3(a) vemos que estas coordenadas se pueden expresar mediante:

$\displaystyle x$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits a\cos b$  
$\displaystyle y$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits a\mathop{\rm sen}\nolimits b$ (1)
$\displaystyle z$ $\textstyle =$ $\displaystyle \cos a$  

Que resulta ser lo mismo que un cambio a coordenadas esféricas.

Si ahora hacemos un giro en torno al eje $y$ de amplitud $c$ (figura 3(b)) vemos que el punto $P=(x',y',z')$ sigue distando una unidad del origen, pero sus coordenadas esféricas son ahora:

$\displaystyle x$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits b\cos (180 ^{\circ}-A)$  
$\displaystyle y$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits (180 ^{\circ}-A)$ (2)
$\displaystyle z$ $\textstyle =$ $\displaystyle \cos b$  

Pero, como hicimos una rotación en torno a un eje fijo, las expresiones (1) y (2) están relacionadas mediante una matriz de giro:


\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} \mathop{\rm sen}\nolimits a\cos b ... ...its b\mathop{\rm sen}\nolimits A\\ \cos b \end{array} \right) \end{displaymath} (3)

Esta expresión matricial parece darnos las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo esférico, pero esto es cierto siempre y cuando la nomenclatura de los ángulos en las figuras 3(a) y 3(b) sean consecuentes con un triángulo esférico. Se puede ver que esta nomenclatura coincide con la realidad en la figura 3(c). Por tanto, podemos hacer cuentas en esa expresión matricial y encontrar unas fórmulas relacionando ángulos y lados del triángulo esférico:


  $\textstyle \cos a=\cos b\cos c+\mathop{\rm sen}\nolimits a\mathop{\rm sen}\nolimits b\cos A$ $\displaystyle \textrm{Primera fórmula de Bessel}$ (4)
  $\textstyle \mathop{\rm sen}\nolimits a\mathop{\rm sen}\nolimits B=\mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits A$ $\displaystyle \textrm{Segunda fórmula de Bessel}$ (5)
  $\textstyle \mathop{\rm sen}\nolimits a\cos B=\cos b\mathop{\rm sen}\nolimits c-\mathop{\rm sen}\nolimits b\cos c\cos A$ $\displaystyle \textrm{Tercera fórmula de Bessel}$ (6)

Estas tres fórmulas son totalmente generales y se pueden obtener para otros ángulos mediante permutaciones cíclicas de los ángulos.
La primera fórmula de Bessel también recibe el nombre de teorema del coseno. La segunda fórmula de Bessel se conoce como teorema del seno.

1.3.2 Fórmulas de Bessel para el triángulo polar

Veamos ahora lo que ocurre cuando aplicamos estas fórmulas al triángulo polar. Si dos triángulos son polares la proposición 2 nos dice que sus ángulos y lados correspondientes son suplementarios, por tanto $\cos a=\cos (180 ^{\circ}-A')=-\cos A'$ y $\mathop{\rm sen}\nolimits a=\mathop{\rm sen}\nolimits (180 ^{\circ}-A')=\mathop{\rm sen}\nolimits A'$. Análogamente $\cos A=-\cos a'$ y $\mathop{\rm sen}\nolimits A=\mathop{\rm sen}\nolimits a'$.

Aplicando estas relaciones a la ecuación (4) obtenemos la relación $-\cos A'=\cos B'\cos C'-\mathop{\rm sen}\nolimits B'\mathop{\rm sen}\nolimits C'\cos a'$, pero si esto es válido para el triángulo polar también será válido, en general, para cualquier triángulo, de modo que:

\begin{displaymath} \cos A=-\cos B\cos C=\mathop{\rm sen}\nolimits B\mathop{\rm sen}\nolimits C\cos a \qquad \textrm{1ª fórmula polar de Bessel} \end{displaymath} (7)

Aplicándolo a la ecuación (6) obtenemos $-\mathop{\rm sen}\nolimits A'\cos b'=-\cos B'\mathop{\rm sen}\nolimits C'-\mathop{\rm sen}\nolimits B'\cos C'\cos a'$, que de nuevo es válido en general, por lo tanto:

\begin{displaymath} \mathop{\rm sen}\nolimits A\cos B=-\cos B\mathop{\rm sen}\no... ...imits B\cos C\cos a \qquad \textrm{3ª fórmula polar de Bessel} \end{displaymath} (8)

La ecuación (5) no nos da ninguna expresión nueva al aplicarla al triángulo polar.

1.3.3 Fórmula de la cotangente

Esta fórmula se obtiene dividiendo la ecuación (6) por la (5) (en el término a la izquierda del signo igual se divide por $\mathop{\rm sen}\nolimits a\mathop{\rm sen}\nolimits B$ mientras que el término a la derecha se divide por $\mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits A$):

$\displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits a\cos B}{\mathop{\rm sen}\nolimits a\mathop{\rm sen}\nolimits B}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\cos b\mathop{\rm sen}\nolimits c-\mathop{\rm sen}\nolimits b\cos c\cos A}{\mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits A}$  
$\displaystyle \cot B$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\cot b\mathop{\rm sen}\nolimits c-\cos c\cos A}{\mathop{\rm sen}\nolimits A}$  
$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits A\cot B$ $\textstyle =$ $\displaystyle \cot b\mathop{\rm sen}\nolimits c-\cos c\cos A$ (9)

1.3.4 Fórmula de Cagnoli

Si multiplicamos la ecuación (4) por $\cos A$ y le sumamos a los dos términos $\mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits c$ obtenemos fácilmente el resultado $\cos b\cos c\cos A+\mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits c=\cos ... ...\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits c{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}A$.
Pasándolo al triángulo polar tenemos la expresión $-\cos B\cos C\cos a+\mathop{\rm sen}\nolimits B\mathop{\rm sen}\nolimits C=\cos... ...\rm sen}\nolimits B\mathop{\rm sen}\nolimits C{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}a$.
Empleando la ecuación (5) dos veces, de modo que $\mathop{\rm sen}\nolimits B\mathop{\rm sen}\nolimits C{\mathop{\rm sen}\nolimit... ...\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits c{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}A$ entonces tenemos que

\begin{displaymath} -\cos B\cos C\cos a+\mathop{\rm sen}\nolimits B\mathop{\rm s... ... b\mathop{\rm sen}\nolimits c{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}A \end{displaymath}

Si sustituímos $*$ por el valor dado en la primera fórmula de Bessel obtenemos la llamada fórmula de Cagnoli:
\begin{displaymath} \mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits c+\cos ... ... sen}\nolimits B\mathop{\rm sen}\nolimits C-\cos B\cos C\cos a \end{displaymath} (10)

1.4 Fórmulas fundamentales de segundo orden de la trigonometría esférica

1.4.1 Fórmulas de Borda

Estas fórmulas son seis (una para cada lado y una para cada ángulo):

\begin{displaymath} \tan \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits e\mat... ...mits (B-e)\mathop{\rm sen}\nolimits (C-e)}}\qquad 2e=A+B+C-\pi \end{displaymath} (11)


\begin{displaymath} \tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits (p-b)... ...en}\nolimits p\mathop{\rm sen}\nolimits (p-a)}}\qquad 2p=a+b+c \end{displaymath} (12)

Las otras cuatro expresiones se obtienen permutando los elementos.

1.4.2 Analogías de Delambre

Las analogías de Delambre son doce, cuatro analogías representativas (las otras ocho se obtienen permutando elementos) son:


$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits \frac{A}{2}\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{b+c}{2}=\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{a}{2}\cos\frac{B-C}{2}$   $\displaystyle \cos\frac{A}{2}\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{b-c}{2}=\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{a}{2}\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{B-C}{2}$  
$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits \frac{A}{2}\cos\frac{b+c}{2}=\cos\frac{a}{2}\cos\frac{B+C}{2}$   $\displaystyle \cos\frac{A}{2}\cos\frac{b-c}{2}=\cos\frac{a}{2}\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{B+C}{2}$  

1.4.3 Analogías de Neper

Estas analogías son también doce, y se obtienen dividiendo las analogías de Delambre miembro a miembro. Cuatro ejemplos son:


$\displaystyle \tan\frac{a+b}{2}=\frac{\tan\frac{c}{2}\cos\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{A+B}{2}}$   $\displaystyle \tan\frac{A+B}{2}=\frac{\cot\frac{C}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\cos\frac{a+b}{2}}$  
$\displaystyle \tan\frac{a-b}{2}=\frac{\tan\frac{c}{2}\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{A-B}{2}}{\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{A+B}{2}}$   $\displaystyle \tan\frac{A-B}{2}=\frac{\cot\frac{C}{2}\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{a-b}{2}}{\mathop{\rm sen}\nolimits \frac{a+b}{2}}$  

1.5 Triángulos esféricos singulares

Existen dos clases de triángulos que poseen una característica especial que ayuda a que los cálculos se simplifiquen notablemente, estos dos triángulos son:

Triángulos rectángulos:
aquellos triángulos en los que uno de sus ángulos vale $90 ^{\circ}$.
Triángulos rectiláteros:
aquellos triángulos en los que uno de sus lados vale $90 ^{\circ}$.

Que las fórmulas se simplifican de un modo amplio es obvio, pongamos un ejemplo: si tomamos la primera fórmula de Bessel (ecuación (4)) $\cos a=\cos b\cos c+\mathop{\rm sen}\nolimits b\mathop{\rm sen}\nolimits c\cos A$ y tenemos un triángulo rectángulo en el cual $A=90 ^{\circ}$ la fórmula se simplifica a $\cos a=\cos b\cos c$.

1.6 Regla del pentágono de Neper

Esta es una regla mnemotécnica para la resolución de triángulos esféricos. Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con $A=90 ^{\circ}$ o un triángulo rectilátero con $a=90 ^{\circ}$. En ese caso podemos construír un pentágono tal y como se indica en la figura 4.

Figura 4: Regla de los pentágonos de Neper
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{neper}

La regla del pentágono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vértices continuos e igual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos.

Por ejemplo, en el caso de un triángulo rectángulo tenemos que $\cos a=\cot B\cot C=\mathop{\rm sen}\nolimits (90-b)\mathop{\rm sen}\nolimits (90-c)=\cos b\cos c$.

1.7 Resolución de triángulos esféricos

Como ya se dijo, resolver un triángulo esférico es, dados tres datos, calcular los otros tres. Existen métodos generales que sólo emplean las fórmulas de Bessel para cumplir este objetivo, aunque usar cualquiera de las otras fórmulas o analogías es igualmente válido.

Hay que hacer notar que los ángulos y lados de los triángulos esféricos se definen entre $0^{\circ}$ y $180^{\circ}$, con lo que a la hora de resolverlos empleando arco-cosenos y arco-tangentes no se nos presenta ninguna ambigüedad, pero a la hora de emplear arco-senos no sabemos si el ángulo o lado están en el primer cuadrante o en el segundo.

Sea pues un triángulo esférico de ángulos $A$, $B$ y $C$ y lados $a$, $b$ y $c$; veamos cómo se resuelve en función de los datos conocidos:

Conocidos $b$, $c$ y $A$: Se calcula el lado $a$ con la primera fórmula de Bessel para $\cos a$ y, ahora que conocemos los tres lados, calculamos los otros dos ángulos con la primera fórmula de Bessel para $\cos b$ y $\cos c$.

Conocidos $b$, $a$ y $A$: En este caso la solución no es única. Empleando la segunda fórmula de Bessel para los datos conocidos obtenemos el valor $\mathop{\rm sen}\nolimits B$, que nos da dos soluciones para el ángulo $B$. Ahora hacemos dos veces (una para cada valor de $B$) un sistema de ecuaciones con la primera fórmula de Bessel para $\cos a$ y $\cos b$ y obtenemos los dos valores correspondientes de $c$. Por último, aplicamos para cada valor de $\cos c$ la primera fórmula de Bessel y obtenemos los dos valores del ángulo que falta.

Conocidos $B$, $C$ y $a$: Aplicamos la primera fórmula de Bessel para el triángulo polar para $\cos A$ y, una vez que obtenemos el ángulo que nos faltaba por conocer, volvemos a aplicar la primera fórmula de bessel para el triángulo polar para $\cos B$ y $\cos C$.

Conocidos $B$, $A$ y $b$: De nuevo la solución no es única. Utilizando la segunda fórmula de Bessel obtenemos los dos valores posibles de $a$. Trabajando análogamente al segundo caso, usamos dos sistemas (uno para cada valor de $a$) entre las primeras fórmulas de Bessel para el triángulo polar para $\cos B$ y $\cos A$ y tenemos los dos valores de $C$. Por último, con la primera fórmula de Bessel para el triángulo polar para $\cos C$ obtenemos el correspondiente valor $c$.

Conocidos $a$, $b$ y $c$: En este caso empleamos la primera fórmula de Bessel para calcular los tres ángulos.

Conocidos $A$, $B$ y $C$: En este caso empleamos la primera fórmula de Bessel para calcular los tres lados.

1.8 Fórmulas diferenciales de la trigonometría esférica

Cuando tenemos un triángulo esférico una pequeña variación en uno de sus datos provoca variaciones en los datos a calcular. En astronomía de posición conviene calcular, pues, los errores en las posiciones y las variaciones en los datos. Para ello consideramos estos fallos como infinitesimales y los representamos analíticamente como las diferenciales de los elementos, en una primera aproximación. Obtengamos, pues, las fórmulas a partir de la expresión matricial de las fórmulas de bessel (ecuación (3)), reescribámosla para hacerla más manejable:

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} \cos a\\ \mathop{\rm sen}\nolimits ... ... c-\mathop{\rm sen}\nolimits b\cos c\cos A \end{array} \right) \end{displaymath}

Diferenciamos esta expresión elemento a elemento, resultando:


\begin{displaymath} \begin{array}{r} \left(\!\begin{array}{c} -\mathop{\rm sen}\... ...op{\rm sen}\nolimits c\cos A \end{array}\!\right)dc \end{array}\end{displaymath}

Esta expresión resulta bastante grande, así que procedemos a simplificarla. Damos aquí los pasos a realizar y el resultado final: en la matriz correspondiente a $db$ aplicamos la tercera fórmula de Bessel (ecuación (6)) en la primera fila y la fórmula de Cagnoli (ecuación (10)) en la tercera; en la matriz correspondiente a $dA$ aplicamos la segunda fórmula de Bessel (ecuación (5)) tanto a la primera fila como a la segunda; en la matriz correspondiente a $dc$ aplicamos la tercera fórmula de Bessel (ecuación (6)) a la primera fila y la primera fórmula de Bessel (ecuación (4)) a la tercera.

\begin{displaymath} \begin{array}{r} \left(\!\begin{array}{c} -\mathop{\rm sen}\... ...imits a\cos B\\ 0\\ \cos a \end{array}\!\right)dc \end{array}\end{displaymath}

Ahora ya podemos pasar a escribir las fórmulas diferenciales de la trigonometría esférica: identificando la primera fila y dividiendo ambos miembros de la igualdad por $-\mathop{\rm sen}\nolimits a$ tenemos:


\begin{displaymath} da=\cos C db+\!\left\{\!{{\mathop{\rm sen}\nolimits c\matho... ...ght\}dA+\cos B dc \qquad \textrm{Primera fórmula diferencial} \end{displaymath} (13)

Identificando la segunda fila y dividiendo por $\mathop{\rm sen}\nolimits a\mathop{\rm sen}\nolimits B$ en el primer miembro y por $\mathop{\rm sen}\nolimits A\mathop{\rm sen}\nolimits b$ en el segundo obtenemos:


\begin{displaymath} \cot a da+\cot B dB=\cot b db+\cot A dA \qquad \textrm{Segunda fórmula diferencial} \end{displaymath} (14)

Para obtener la tercera fórmula diferencial hay que desarrollar y simplificar un poco la ecuación que se obtiene de identificar la tercera fila. En ella aparece un $\cos a$ al que aplicaremos la ecuación (4). Después de hacer eso, agrupando términos, obtenemos:

\begin{displaymath} \mathop{\rm sen}\nolimits B[\underbrace{\cos a\cos B\mathop{... ...ace{{\cos}^{2}B-1}_{-{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}B}] dC=0 \end{displaymath}

Que, tras dividir ambos términos de la igualdad por $\mathop{\rm sen}\nolimits B$ nos da:


\begin{displaymath} \mathop{\rm sen}\nolimits a dB=-\mathop{\rm sen}\nolimits b... ...limits B\cos a dc \qquad \textrm{Tercera fórmula diferencial} \end{displaymath} (15)

2 Forma y dimensiones de la Tierra. Coordenadas terrestres

La cuestión de la forma que presenta nuestro planeta y sus dimensiones la trata una ciencia llamada geodesia. Este estudio se lleva a cabo por medio de aproximaciones sucesivas.

Antiguamente se le dieron formas muy diversas a la Tierra, fueron los filósofos pitagóricos los que dijeron que era una esfera (s.VI a.C.) basándose en experiencias de los navegantes al observar las estrella; la desaparición de un barco a medida que se aleja de la cosa o la forma de la sombra que proyecta la Tierra sobre la Luna en un eclipse (Aristóteles).

Una vez admitida la hipótesis de que la Tierra es eférica habría que determinar su tamaño. Eratóstenes realizó una experiencia para obtener el radio. Sabía que en el solsticio de verano el sol no proyectaba sombra al mediodía en la antigua ciudad de Siena, sin embargo en Alejandría sí. Midiendo la distancia entre Siena y Alejandría y el tamaño de la sombra el mediodía del solsticio calculó un valor del radio $R=6267km$, 111km menor que el radio ecuatorial actualmente admitido. Este error es debido a varios hechos que Eratóstenes dio por ciertos y no lo son: Alejandría y Siena no están en el mismo meridiano; el sol no está justo sobre Siena el día del solsticio1 y la Tierra no es exactamente esférica.

Fue Newton en el s.XVII cuando enunció su ley de la gravitación universal y estableció un postulado:

Al combinar el efecto de las fuerzas gravitatorias terrestres y la fuerza centrífuga debida a la rotación sobre la masa elástica de la Tierra, se produce un achatamiento en los polos.

Por lo tanto la forma de la Tierra sería la de un elipsoide de revolución según Newton. En el s.XVIII dos expediciones midieron el radio ecuatorial y polar de la Tierra para confirmar este postulado, pero se encontraron que a ángulos iguales no le corresponden arcos iguales, por lo que la forma tampoco sería esa. El error es debido a que las masas internas de la Tierra son inhomogéneas y esto Newton no lo tuvo en cuenta.

En general la forma de la Tierra es muy complicada y no se puede representar mediante una superficie geométrica de formulación matemática simple. Es por esto que se define el geoide.

2.1 El geoide

El geoide es una figura definida para describir la forma de la Tierra. Su propiedad característica a la hora de definirlo es que es normal a la dirección de la gravedad en cada punto, entendiendo por gravedad la composición de la fuerza centrífuga y la fuerza de gravitación.

El campo gravitatorio terrestre resulta ser un campo conservativo, con lo que deriva de un potencial, lo que matemáticamente se expresa por: $\vec{F}=-\nabla V$. De modo que si $V(x,y,z)=cte$ tenemos superficies equipotenciales.

Entonces podemos definir el geoide como la superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre al nivel del mar. Es decir, la superficie en calma de los océanos prolongada al lugar ocupado por los continentes.

En la actualidad la geodesia (y la forma del geoide) se basa en el estudio de las órbitas de los satélites artificiales.

Se demuestra en mecánica que el potencial terrestre se puede representar en función de los armónicos esféricos $J_{i}$, de modo que:


\begin{displaymath} V=J_{1}\big(\cdots\big)+J_{2}\big(\cdots\big)+J_{3}\big(\cdots\big)+\cdots \end{displaymath}

Donde los $J_{i}$ se determinan a partir de las órbitas de los satélites. Si eliminamos todos los armónicos esféricos en los que $i>1$ (sabiendo que $J_{1}=1$) nos queda la expresión del potencial debido a una esfera homogénea, pero los satélites no se ajustan a esta órbita. Teniendo en cuenta el siguiente término el potencial se corresponde con un elipsoide de revolución; si introducimos el siguiente armónico nos daría una figura ligeramente parecida a una pera... La forma iría evolucionando según tuviésemos en cuenta más y más potenciales armónicos.

En estos apuntes vamos a suponer, para simplificar las cosas, que la forma de la Tierra es un elipsoide de revolución. Esta suposición no es muy descabellada ya que la distancia máxima entre el radio del geoide y el radio del elipsoide es de 100m, diferencia despreciable en distancias planetares y estelares. A este elipsoide le llamaremos elipsoide de referencia. El eje de giro pasa por los polos y coincide con el eje menor. Las dimensiones fueron definidas en el año 1976 por la Unión de Astrónomos Internacional del siguiente modo:

  • a=radio ecuatorial=$6378.140km$
  • b=radio polar=$6356.755km$
  • $\alpha$=achatamiento= $\frac{a-b}{a}=\frac{1}{298.257}$
  • e=excentricidad= $\sqrt{\alpha (2-\alpha )}=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=0.08182$

2.2 Definiciones

Meridianos terrestres:
son las líneas elipsoidales determinadas por el corte entre el elipsoide y el haz de planos que define el eje menor. Se considera como meridiano cero al que pasa por el observatorio de Greenwich.
  • Si tomamos un punto cualquiera $A$ del elipsoide por él pasará un meridiano y un paralelo exclusivamente. Llamamos meridiano superior de un lugar $A$ a la semielipse que parte de los polos y pasa por el lugar $A$.
  • Llamamos meridiano inferior a la semielipse que parte de los polos pero no pasa por el lugar $A$.
Polos:
son los extremos donde el eje menor corta al elipsoide.
Ecuador:
el corte entre el plano perpendicular al eje menor que pasa por el centro del elipsoide y éste. Es un círculo máximo.
Paralelos terrestres:
el corte entre los planos paralelos al ecuador y el elipsoide de referencia. Son círculos menores. Se considera como paralelo cero al ecuador.
Vertical de un lugar:
es la normal a la elipse por el lugar $A$. Esta vertical define dos direcciones: hacia arriba el zénit (Z) y hacia abajo el nadir (Z').
Horizonte del lugar:
es el plano perpendicular a la vertical del lugar $A$. El horizonte interseca al plano que contiene al meridiano superior en una línea llamada línea meridiana. Esta línea indica la dirección norte-sur. La perpendicular a la línea meridiana trazada sobre el horizonte del lugar indica la dirección este-oeste.

2.3 Coordenadas

2.3.1 Coordenadas geográficas

Figura 5: Coordenadas terrestres geográficas
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{geograf}

Latitud geográfica ($\phi$):
ángulo que forma la vertical del lugar con el plano del ecuador. Este valor varía entre $0 ^{\circ}$ y $+90 ^{\circ}$ si los contamos en dirección norte y entre $0 ^{\circ}$ y $-90 ^{\circ}$ si los contamos en dirección sur.
Longitud geográfica ($\lambda$):
ángulo diedro que forma el meridiano cero con el meridiano superior del lugar. Este valor varía entre $0^{h}$ y $+12^{h}$ si los contamos en dirección este y entre $0^{h}$ y $-12^{h}$ si los contamos en dirección oeste2.

2.3.2 Coordenadas geocéntricas

Figura 6: Coordenadas terrestres geocéntricas
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{geocent}

Radio vector:
es la distancia entre el centro de la Tierra y el lugar $A$.
Latitud geocéntrica ($\psi$):
ángulo que forma el radio vector con el plano del ecuador. Este valor varía entre $0 ^{\circ}$ y $+90 ^{\circ}$ si los contamos en dirección norte y entre $0 ^{\circ}$ y $-90 ^{\circ}$ si los contamos en dirección sur.
Latitud geocéntrica:
coincide con la latitud geográfica ($\lambda$).

2.3.3 Latitud reducida o excéntrica

Figura 7: Coordenas terrestres con latitud recudida
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{reducida}

A veces se usa otra latitud que se denomina latitud reducida o excéntrica. Para definirla se traza una semicircunferencia de radio igual al semieje mayor y se pasa por $A$ una perpendicular al semieje mayor que corta a la semicircunferencia en $A'$. Si unimos $A'$ con el centro de la elipse vemos que esta línea corta al plano del ecuador con un ángulo $u$, que e la latitud reducida.

2.4 Relación entre las latitudes

Hay que hacer notar que el punto $A=(x,y)$ pertenece a una elipse, por lo tanto verifica su ecuación: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$.

Por inspección de las figuras se puede observar que $\tan\psi=\frac{y}{x}$. Para hayar la tangente de $\phi$ vemos que es la normal a la tangente a una curva por un punto, por lo que (como demuestra el cálculo diferencial) $\tan\phi=-\frac{1}{f'(x,y)}=-\frac{dy}{dx}=-\frac{a^{2}}{b^{2}}\frac{y}{x}$.

Relacionando estas dos tangentes vemos enseguida que

\begin{displaymath} \tan\phi=\frac{a^{2}}{b^{2}}\tan\psi \end{displaymath} (16)

Por otra parteel punto $A'=(x',y')$ pertenece a una circunferencia y cumple la ecuación $x^{2}+y^{2}=a^{2}$. Por construcción tenemos, además, que $x'=x$, de modo que

\begin{displaymath} \frac{{x'}^{2}+{y'}^{2}}{a^{2}}=1\Rightarrow 1-\frac{{y'}^{2... ...x^{2}}{a^{2}}=1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\Rightarrow y'=\frac{a}{b}y \end{displaymath}

Podemos escribir la ecuación de la esfera dependiendo de la latitud reducida $u$ del modo siguiente: $x'=a\cos u$, $y'=a\mathop{\rm sen}\nolimits u$. Por tanto, de esta relación y la deducida anteriormente obtenemos

\begin{displaymath} y=b\mathop{\rm sen}\nolimits u\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{b... ...sen}\nolimits u}{\cos u}\Rightarrow \tan\psi=\frac{b}{a}\tan u \end{displaymath} (17)

Para obtener la tercera relación entre las latitudes basta con combinar las dos relaciones obtenidas, con lo que queda:

\begin{displaymath} \tan\phi=\frac{a}{b}\tan u \end{displaymath} (18)

2.5 Relación entre $\rho $ y las latitudes

De la definición de las coordenadas geocéntricas relacionamos $\rho $ con las coordenadas cartesianas: resulta obvio ver que $x=\rho\cos\psi$ e $y=\rho\mathop{\rm sen}\nolimits \psi$, con lo que $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}$.

Además, por la definición de latitud reducida se puede ver que $\rho^{2}=a^{2}\cos^{2}u+b^{2}\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}u$, y teniendo en cuenta que según la definición de excentricidad $b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$ podemos llegar a que $\rho^{2}=a^{2}(1-e^{2}\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}u)$.

Partiendo de la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas llegamos a otra relación entre $\rho $ y $\psi$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1=\frac{\rho^{2}\cos^{2}\psi}{a^{2}}+\frac{\rho^{2}\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\psi}{b^{2}}=1$, por lo que $\rho^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{b^{2}\cos^{2}\psi+a^{2}\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\psi}$.

Por último, y como $\tan\phi=\frac{a^{2}}{b^{2}}\tan\psi$ llegamos a $\rho^{2}=\frac{a^{4}\cos^{2}\phi+b^{4}\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\phi}{a^{2}\cos^{2}\phi+b^{2}\mathop{\rm sen}\nolimits ^{2}\phi}$.

2.6 Correcciones a las coordenadas

Las correcciones que se muestran a continuación se hacen necesarias debido a que el lugar de observación no se encuentra, por lo general, sobre el elipsoide que empleamos para describir la Tierra, sinó a una altitud sobre él. Esta altitud ($h$) se mide sobre la vertical del lugar, de modo que podemos definir las nuevas coordenadas $(X,Y)$ del lugar como:

\begin{displaymath} X=x+\Delta x=x+h\cos\phi \end{displaymath}


\begin{displaymath} Y=y+\Delta y=y+h\cos\phi \end{displaymath}

Ahora intentaremos expresar $x$ e $y$ también como función de la latitud geográfica para tener expresiones sólo en función de ella. Se verifica que

\begin{displaymath} x=\rho\cos\psi=a\cos u=a C(\phi)\cos\phi \end{displaymath}


\begin{displaymath} y=\rho\mathop{\rm sen}\nolimits \psi=b\mathop{\rm sen}\nolimits u=a S(\phi)\mathop{\rm sen}\nolimits \phi \end{displaymath}

donde $C(\phi)$ y $S(\phi)$ son dos funciones a calcular.

Si dividimos $y$ por $x$ obtenemos:

\begin{displaymath} \frac{y}{x}=\tan\psi=\frac{b}{a}\tan u=\frac{S}{C}\tan\phi \end{displaymath}

que, teniendo en cuenta la ecuación (18) nos queda como

\begin{displaymath} \frac{b}{a}\tan u=\frac{S}{C}\frac{a}{b}\tan u\Rightarrow S=\frac{b^{2}}{a^{2}}C \end{displaymath}

Ahora, despejando de la expresión para $x$ tenemos que $\cos u=C\cos\phi$ y despejando de la expresión para $y$ tenemos que $\mathop{\rm sen}\nolimits u=\frac{a}{b}S\mathop{\rm sen}\nolimits \phi$. Elevándolas al cuadrado y sumando miembro a miembro obtenemos la expresión para $C$:

\begin{displaymath} {\cos}^{2}y+{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}u=1=C^{2}{\cos}^... ...\frac{b^{2}}{a^{2}}{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}\phi\right] \end{displaymath}


\begin{displaymath} C^{2}=\frac{a^{2}}{a^{2}{\cos}^{2}\phi+b^{2}{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}\phi} \end{displaymath} (19)

Y despejando de la relación entre $S$ y $C$
\begin{displaymath} S^{2}=\frac{b^{4}/a^{2}}{a^{2}{\cos}^{2}\phi+b^{2}{\mathop{\rm sen}\nolimits }^{2}\phi} \end{displaymath} (20)

Por tanto las ecuaciones para la posición de un lugar en relación al elipsoide de la Tierra, teniendo en cuenta la corrección por motivo de la altitud, son:

\begin{displaymath} X=(a C(\phi)+h)\cos\phi \end{displaymath} (21)


\begin{displaymath} Y=(a S(\phi)+h)\mathop{\rm sen}\nolimits \phi \end{displaymath} (22)

con $C(\phi)$ y $S(\phi)$ dadas por las ecuaciones (19) y (20).

3 Esfera celeste. Movimiento diurno aparente. Rotación de la Tierra

3.1 Movimiento diurno aparente

Hemos aproximado la Tierra a un elipsoide de rotación. La Tierra tiene un movimiento de rotación en el sentido oeste-este en torno al eje menor.

Nosotros no percibimos de forma obvia este movimiento. Pero, si por ejemplo miramos hacia el sur de noche veremos a las estrellas saliendo por el este y poniéndose por el oeste trazando arcos de circunferencia. Si miramos hacia el este veremos como las estrellas salen ``inclinadas'' y hacia el oeste se ponen ocn la inclinación contraria. Si miramos hacia el norte veremos que las estrellas trazan semicircunferencias con el centro situado hacia arriba del horizonte.

Sa la impresión, por tanto, de que las estrellas se mueven. Este movimiento aparente recibe el nombre de movimiento diurno aparente. Es, como parece lógico, una consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra.

3.2 La esfera celeste

La esfera celeste es una esfera imaginarica concéntrica con la Tierra, de radio arbitrariamente grande y sobre la cual se encuentran proyectadas las estrellas mediante radios. La esfera celeste está dotada de un movimiento de rotación en torno al eje $PP'$ que llamamos eje del mundo. Es la prolongación del eje de rotación de la Tierra. Sobre esta esfera podemos definir objetos análogos a los definidos sobre la Tierra, así tenemos polo norte celeste, polo sur celeste, ecuador celeste, meridianos celestes (también llamados círculos horarios)... Sin embargo, en este caso, el sentido de rotación de la esfera es el contrario a la Tierra, es decir, este-oeste.

Figura 8: Prolongación de la vertical de un lugar a la esfera celeste
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{vertical}

Sobre un punto de la Tierra vimos que pasaba un meridiano y, a partir de él, teníamos definida la vertical del lugar. Si prolongamos esta vertical sobre la esfera celeste (vemos que angularmente coincide no con la latitud, sinó su ángulo complementario: el que forma el eje de rotación con la vertical) nos da el zénit y el nadir. Análogamente a la Tierra podemos definir el meridiano superior o inferior de un lugar.

Como ya hemos dicho las estrellas se consideran fijas en la superficie de la esfera celeste y ésta rota, por tanto las estrellas estarán dibujando círculos menores, serán los paralelos celestes. Lo normal es representar la esfera celeste como en la figura 9.

Figura 9: Representación de la esfera celeste con el zénit y los polos
\includegraphics[width=0.2\textwidth]{esfera}

El plano perpendicular a la verticual del lugar corta a la esfera celeste en un círculo máximo llamado horizonte. $N$ es el punto norte (el más cercano a $P$) y $S$ el punto sur (el más cercano a $P'$). Sobre los paralelos celestes podemos definir cuatro puntos clave, que son los siguientes:

1 - Orto:
punto en el que la estrella atraviesa el horizonte para hacerse visible.
2 - Culminación superior:
momento en el que la estrella atraviesa el meridiano superior del lugar.
3 - Ocaso:
punto en el que la estrella atraviesa el horizonte para dejar de ser visible.
4 - Culminación inferior:
momento en el que la estrella atraviesa el meridiano inferior del lugar.
Algunas estrellas se ven siempre (y por tanto no tienen ni orto ni ocaso) y reciben el nombre de estrellas circumpolares. Otras estrellas tampoco tienen ni orto ni ocaso, pero no se ven nunca, son las estrellas anticircumpolares.

Dependiendo del lugar de observación veríamos unas estrellas u otras.

  • Si el observador está en el polo norte la vertical del lugar coincide con el eje de rotación, lo que implica que el horizonte coincide con el ecuador. En este caso todas las estrellas del hemisferio norte son visibles y no lo es ninguna del hemisferio sur. Además todas las estrellas son circumpolares.
  • Si el observador está en el ecuador el eje de rotación terrestre y la vertical del lugar son perpendiculares: el horizonte contiene al eje del mundo. En este caso se ven todas las estrellas de la esfera terrestre.
  • Si el observador se encuentra en el hemisferio sur (no en el polo sur) es movimiento aparente es contrario al del hemisferio norte, pero los puntos cardinales mantienen la posición. Las estrellas siguen saliendo por el este y poniéndose por el oeste.

3.3 Rotación terrestre

Que la Tierra rota es actualmente aceptado por todo el mundo. Tenemos muchas evidencias de ello, pero quizás una de las más importantes sea el péndulo de Foucault, que aprovecha la propiedad pendular de mantener constante el plano de las oscilaciones para ver una variación en el ángulo de oscilación de los péndulos referiéndose al suelo del lugar donde esté oscilando y que se explica con la rotación terrestre.

En principio tenemos el problema de que la rotación de la Tierra no es uniforme, sin embargo podemos suponer, por aproximación, que sí lo es sin cometer mucho error.

Las principales causas de la no uniformidad de la rotación son:

  • Causas de tipo secular: la masa líquida de la Tierra frena la rotación.
  • Variaciones periódicas: la velocidad de rotación oscila entre un máximo y un mínimo
  • Variaciones irregulares: se producen por cambios en la estructura interna de la Tierra
  • Precesión del eje: se da un movimiento de precesión en el eje de la Tierra con un período de 430 días. La curva de precesión no es cerrada, pero está contenida en un cuadrado de 30 metros de lado.

Esto repercute en las coordenadas de la Tierra, especialmente en las latitudes. Por eso, al hablar de latitud geográfica se distingue entre la instantánea y la media. Las longitudes también se ven afectadas, pero apenas unas centésimas de segundo de arco.

4 Movimiento orbital de la Tierra

4.1 Los planetas

Planeta viene de una palabra griega que venía a significar errante. Esto es debido a que mientras las estrellas permanecían fijas en sus posiciones en la esfera celeste los planetas están situados en unas posiciones algunos días y en otras posiciones unos días después. Además se observaba que la posición de estos planetas, a veces, volvía hacia atrás, sin aparente armonía. Por estas razones se los asoció con dioses en la antigüedad, parecían tener libre albedrío. Estas ``deidades'' eran Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno.

Actualmente sabemos a qué se debe que los planetas varíen de posición en la esfera celeste, están orbitando alrededor del sol. Esto explica también el movimiento retrógado que se observa.

En 1781 W. Herschel descubrió de modo accidental (mientras hacía observaciones estelares) el planeta Urano. Al pirncipio creyó qu eera un cometa, pero al observarlo durante un año se vio que la órbita se acercaba mucho más a la órbita típica de los planetas, y no la de los cometas. Finalmente fue Lexell quien demostró que se trataba de un planeta.

Se continuó observando al planeta Urano y se vieron ciertas anomalías en su órbita. Adams y Levelier (independientemente) intentaron calcular la órbita de un planeta a mayores que provocase esas anomalías y, en septiembre de 1846, los astrónomos Galle y d'Arrest encontraron el planeta Neptuno en el lugar predicho.

De nuevo merced a anomalías en la órbita se desubrió Plutón. Fue Tombaugh en 1930 quien lo descubrió empleando la técnica de la fotografía, debido a lo lejos que está este planeta de la Tierra.

Los planetas se pueden clasificar en interiores (Mercurio, Venus y la Tierra) y exteriores (el resto); o bien en terrestres (Mercurio, Venus, Tierra y Marte) o jovianos (el resto).

4.2 Ley de Titius-Bode

Esta no es una ley válida, pero durante mucho tiempo3 se creyó que era cierta pues describía de un modo